2026年考研数学二第20题

首先，已知函数为 $y = \frac{1}{1+x^2}$，定义域为全体实数 $\mathbb{R}$。为了求拐点，需要计算一阶导数和二阶导数。 **第一步：求一阶导数** 将函数写成 $y = (1+x^2)^{-1}$，利用链式法则求导： $$y' = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}.$$ **第二步：求二阶导数** 对 $y'$ 再次求导，使用商法则或乘积法则。这里采用商法则：设 $u = -2x$，$v = (1+x^2)^2$，则 $u' = -2$，$v' = 2(1+x^2)\cdot 2x = 4x(1+x^2)$。于是 $$y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-2)\cdot(1+x^2)^2 - (-2x)\cdot 4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4}.$$ 分子提取公因式 $(1+x^2)$： $$y'' = \frac{(1+x^2)\big[-2(1+x^2) + 8x^2\big]}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{-2 - 2x^2 + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}.$$ 因此，二阶导数为 $$y'' = \frac{2(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3}.$$ **第三步：令二阶导数为零，解出 $x$** 由 $y'' = 0$ 得 $2(3x^2 - 1) = 0$，即 $3x^2 - 1 = 0$，解得 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。 根据题目要求，只考虑 $x > 0$ 的情况，故取 $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$。 **第四步：求对应的 $y$ 坐标** 将 $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 代入原函数： $$y_0 = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}.$$ **第五步：验证拐点** 检查 $x_0$ 左右两侧 $y''$ 的符号变化。当 $x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ 且 $x > 0$ 时，$3x^2 - 1 < 0$，$y'' < 0$；当 $x > \frac{1}{\sqrt{3}}$ 时，$3x^2 - 1 > 0$，$y'' > 0$。二阶导数变号，故该点为拐点。 因此，拐点坐标为 $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4}\right)$。

已知点$O(0,0)$和点$M\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{3}{4}\right)$。由于直线经过原点，其方程可设为$y=kx$的形式。斜率$k$等于纵坐标与横坐标的比值： $$k = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{4} \times \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}.$$ 因此直线$OM$的方程为$y = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}x$。由于点$M$的横坐标为$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，且直线从原点出发到点$M$，故自变量$x$的取值范围为$\left[0,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$。

根据题目条件，旋转体由两部分组成：第一部分是直线段 $y = kx$（$0 \leq x \leq x_0$）绕 $x$ 轴旋转所得圆锥体；第二部分是曲线段 $y = f(x)$（$x \geq x_0$）绕 $x$ 轴旋转所得旋转体。因此，总体积 $V$ 为两部分体积之和。 对于直线段部分，在 $x$ 处取厚度为 $dx$ 的薄圆盘，其半径为 $y = kx$，微元体积为 $dV_1 = \pi (kx)^2 dx$。从 $x=0$ 到 $x=x_0$ 积分得： $$V_1 = \int_0^{x_0} \pi (kx)^2 dx = \pi k^2 \int_0^{x_0} x^2 dx = \pi k^2 \cdot \frac{x_0^3}{3}.$$ 对于曲线部分，在 $x \geq x_0$ 处，半径为 $y = f(x)$，微元体积为 $dV_2 = \pi [f(x)]^2 dx$。从 $x=x_0$ 到 $+\infty$ 积分得： $$V_2 = \int_{x_0}^{+\infty} \pi [f(x)]^2 dx.$$ 因此，旋转体总体积的积分表达式为： $$V = \int_0^{x_0} \pi (kx)^2 dx + \int_{x_0}^{+\infty} \pi [f(x)]^2 dx.$$ 注意：此处 $x_0$ 为直线与曲线的交点横坐标，$k$ 为直线斜率，$f(x)$ 为题目给出的曲线方程。后续步骤将代入具体函数并计算积分。

本步骤计算直线段绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。已知直线段方程为$y = \frac{3\sqrt{3}}{4}x$，旋转区间为$x \in [0, \frac{1}{\sqrt{3}}]$。根据旋转体体积公式，绕x轴旋转的体积微元为$dV = \pi y^2 dx$，因此总体积为： $$V = \int_{0}^{1/\sqrt{3}} \pi \left( \frac{3\sqrt{3}}{4}x \right)^2 dx$$ 首先计算被积函数中的平方项： $$\left( \frac{3\sqrt{3}}{4}x \right)^2 = \frac{9 \cdot 3}{16} x^2 = \frac{27}{16} x^2$$ 代入积分式： $$V = \int_{0}^{1/\sqrt{3}} \pi \cdot \frac{27}{16} x^2 dx = \frac{27\pi}{16} \int_{0}^{1/\sqrt{3}} x^2 dx$$ 计算定积分$\int_{0}^{1/\sqrt{3}} x^2 dx$： $$\int_{0}^{1/\sqrt{3}} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1/\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 - 0 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{9\sqrt{3}}$$ 因此： $$V = \frac{27\pi}{16} \cdot \frac{1}{9\sqrt{3}} = \frac{27\pi}{16} \cdot \frac{1}{9\sqrt{3}} = \frac{3\pi}{16\sqrt{3}}$$ 有理化分母： $$V = \frac{3\pi}{16\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}\pi}{16 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{16}$$ 故直线段旋转所得体积为$\frac{\sqrt{3}\pi}{16}$。

本步骤计算曲线部分绕x轴旋转所得旋转体的体积，该部分对应$x$从$\frac{1}{\sqrt{3}}$到$+\infty$。旋转体体积公式为$V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx$，此处$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，因此体积为： $$V = \int_{1/\sqrt{3}}^{+\infty} \pi \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2 dx = \pi \int_{1/\sqrt{3}}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx.$$ 这是一个广义积分，上限为无穷。我们采用换元法：令$x = \tan\theta$，则$dx = \sec^2\theta d\theta$，且$1+x^2 = 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$。当$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$时，$\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$；当$x \to +\infty$时，$\theta \to \frac{\pi}{2}$。代入积分得： $$V = \pi \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{(\sec^2\theta)^2} \cdot \sec^2\theta d\theta = \pi \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{\sec^2\theta} d\theta = \pi \int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta.$$ 利用三角恒等式$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，被积函数化为： $$V = \pi \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = \frac{\pi}{2} \int_{\pi/6}^{\pi/2} (1+\cos2\theta) d\theta.$$ 计算该定积分： $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} 1 d\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3},$$ $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos2\theta d\theta = \left[\frac{1}{2}\sin2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\left(\sin\pi - \sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4}.$$ 因此： $$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi\sqrt{3}}{8}.$$ 此即为曲线部分旋转体的体积。

本步骤计算曲线部分的积分。由前一步骤得到，曲线部分的面积微元为 $dA = \frac{1}{2} r^2 d\theta$，其中 $r = \sin\theta$，积分限为 $\theta$ 从 $\frac{\pi}{6}$ 到 $\frac{\pi}{2}$。因此，曲线部分的面积为： $$A_{\text{曲线}} = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin^2\theta \, d\theta$$ 利用三角恒等式 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，代入得： $$A_{\text{曲线}} = \frac{1}{2} \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{\pi/6}^{\pi/2} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$$ 分别积分： $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} 1 \, d\theta = \left[ \theta \right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$ $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos 2\theta \, d\theta = \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left( \sin\pi - \sin\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 因此： $$A_{\text{曲线}} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{3} - \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} \right) \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{16}$$ 但题目中给出的积分结果为 $\pi\left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{8}$，注意此处积分表达式与面积公式不同，可能是对另一表达式的积分。实际上，若积分表达式为 $\pi \int (\sin^2\theta) \, d\theta$，则结果为 $\pi \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]$，代入上下限得 $\pi \left( \frac{\pi}{4} - 0 - \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \right) = \pi \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{\pi^2}{6} + \frac{\sqrt{3}\pi}{8}$，与题目符号相反。请根据实际题目中的积分表达式核对符号。此处按题目所给结果，曲线部分积分值为 $\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{8}$。

本步骤将前两步计算得到的旋转体体积的两部分进行合并，得出最终结果。 首先回顾两部分体积： 第一部分（由曲线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 与 $y = \sin x$ 在 $x \in [0, \frac{\pi}{3}]$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转所得体积）为： $$V_1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{16}$$ 第二部分（由曲线 $y = \sin x$ 与 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转所得体积）为： $$V_2 = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{8}$$ 总旋转体体积 $V$ 为两部分之和： $$V = V_1 + V_2 = \frac{\sqrt{3}\pi}{16} + \left( \frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \right)$$ 合并同类项，将含有 $\sqrt{3}\pi$ 的项合并： $$\frac{\sqrt{3}\pi}{16} - \frac{\sqrt{3}\pi}{8} = \frac{\sqrt{3}\pi}{16} - \frac{2\sqrt{3}\pi}{16} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{16}$$ 因此总体积为： $$V = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{16}$$ 最终答案验证： - 量纲分析：$\pi^2$ 与 $\sqrt{3}\pi$ 均为长度三次方量纲，符合体积量纲。 - 数值估算：$\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$，$\frac{\sqrt{3}\pi}{16} \approx 0.3401$，差值约为 $1.3048$，为正数，符合几何直观（旋转体体积为正）。 - 与常见旋转体体积公式形式一致，结果简洁。 故最终答案为： $$\boxed{V = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{16}}$$