2026年考研数学二第2题

首先，设所求的二阶线性非齐次微分方程的一般形式为： $$ y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) $$ 其中 $P(x)$、$Q(x)$ 和 $f(x)$ 是待定的函数（或常数）。对应的齐次方程为： $$ y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 $$ 已知 $y_1$ 和 $y_2$ 是该非齐次方程的两个特解，因此它们分别满足非齐次方程。将 $y_1$ 代入非齐次方程得： $$ y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1 = f(x) \quad (1) $$ 将 $y_2$ 代入非齐次方程得： $$ y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2 = f(x) \quad (2) $$ 这两个关系式是后续步骤中确定 $P(x)$、$Q(x)$ 和 $f(x)$ 的基础。注意，$y_1$ 和 $y_2$ 是已知的具体函数，因此 $y_1'$、$y_1''$、$y_2'$、$y_2''$ 均可通过求导得到。

已知 $y_1$ 和 $y_2$ 是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且该非齐次方程的标准形式为 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$，其中 $f(x) \neq 0$。 条件一指出：$2\lambda y_1 + \mu y_2$ 也是该非齐次方程的解。将 $2\lambda y_1 + \mu y_2$ 代入方程左边，并利用线性微分算子的线性性质： $$L[2\lambda y_1 + \mu y_2] = 2\lambda L[y_1] + \mu L[y_2]$$ 其中 $L = \frac{d^2}{dx^2} + p(x)\frac{d}{dx} + q(x)$。 由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是非齐次方程的解，因此有 $L[y_1]=f(x)$，$L[y_2]=f(x)$。代入上式得： $$L[2\lambda y_1 + \mu y_2] = 2\lambda f(x) + \mu f(x) = (2\lambda + \mu)f(x)$$ 而 $2\lambda y_1 + \mu y_2$ 是非齐次方程的解，故 $L[2\lambda y_1 + \mu y_2] = f(x)$。因此有： $$(2\lambda + \mu)f(x) = f(x)$$ 由于 $f(x) \neq 0$，两边同时除以 $f(x)$ 得到关于参数 $\lambda$ 和 $\mu$ 的方程： $$2\lambda + \mu = 1$$ 这就是条件一所给出的约束关系。

已知 $y_1$ 和 $y_2$ 是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，对应的齐次方程为 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$。条件二指出 $\lambda y_1-2\mu y_2$ 是该齐次方程的解。将 $y=\lambda y_1-2\mu y_2$ 代入齐次方程，利用线性微分算子 $L[y]=y''+p(x)y'+q(x)y$ 的线性性，有： $$L[\lambda y_1-2\mu y_2]=\lambda L[y_1]-2\mu L[y_2]=0.$$ 由于 $y_1$ 和 $y_2$ 是非齐次方程的特解，设非齐次方程为 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$，则 $L[y_1]=f(x)$，$L[y_2]=f(x)$。代入上式得： $$\lambda f(x)-2\mu f(x)=(\lambda-2\mu)f(x)=0.$$ 因为 $f(x)\neq 0$（非齐次项非零），所以必有 $\lambda-2\mu=0$，即 $\lambda=2\mu$。

由前一步骤得到的两个方程： $$2\lambda + \mu = 1 \quad \text{(1)}$$ $$\lambda = 2\mu \quad \text{(2)}$$ 将方程(2)代入方程(1)中，消去$\lambda$： $$2(2\mu) + \mu = 1$$ $$4\mu + \mu = 1$$ $$5\mu = 1$$ 解得： $$\mu = \frac{1}{5}$$ 再将$\mu = \frac{1}{5}$代入方程(2)： $$\lambda = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$ 因此得到： $$\lambda = \frac{2}{5}, \quad \mu = \frac{1}{5}$$ 验证：将$\lambda = \frac{2}{5}$，$\mu = \frac{1}{5}$代入方程(1)： $$2 \times \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$$ 满足方程(1)；代入方程(2)： $$\frac{2}{5} = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$ 满足方程(2)。故解正确。 对应选项B。