2026年考研数学二第3题

选择题 · 5分

📝 题目

设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=\mathrm{e}^{y+a z}$（ $a$ 是非零常数）确定，则（ ）。

A
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle \frac{1}{a}$.
B
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle \frac{1}{a}$. C $\cdot \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\displaystyle \frac{1}{a}$.
D
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\displaystyle \frac{1}{a}$ ．

💡 答案解析

**答案**: A

---

**解析**:

（法一）由微分形式不变性得 $\mathrm{d} x-a \mathrm{~d} z=\mathrm{e}^{y+a z}(\mathrm{~d} y+a \mathrm{~d} z)$ ，

整理得：$\left(a \mathrm{e}^{y+a t}+a\right) \mathrm{d} z=\mathrm{d} x-\left(\mathrm{e}^{y+a z}\right) \mathrm{d} y$ ，故 $\mathrm{d} z=\displaystyle\frac{1}{a}\left[\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{y+a z}+1} \mathrm{~d} x+\displaystyle\frac{-\mathrm{e}^{y+a z}}{\mathrm{e}^{y+a z}+1} \mathrm{~d} y\right]$ ．

故 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\displaystyle\frac{1}{a} \displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{y+a z}+1}, \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle\frac{1}{a}\left(\displaystyle\frac{-\mathrm{e}^{y+a z}}{\mathrm{e}^{y+a z}+1}\right)$ ．

显然：$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle\frac{1}{a}$ ，选 A ． （法二）构造 $F(x, y, z)=x-a z-\mathrm{e}^{y+a z}$ ，

由 $\left\{\begin{array}{l}F_{x}^{\prime}=1, \\ F_{y}^{\prime}=-\mathrm{e}^{y+a z}, \\ F_{z}^{\prime}=-a-\mathrm{e}^{y+a z} \cdot a,\end{array}\right.$ 故

$$ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}=-\frac{1}{-a\left[1+\mathrm{e}^{y+a z}\right]}=\frac{1}{a\left[1+\mathrm{e}^{y+a z}\right]} \\ & \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}=-\frac{-\mathrm{e}^{y+a z}}{-a\left[1+\mathrm{e}^{y+a z}\right]}=-\frac{\mathrm{e}^{y+a z}}{a\left[1+\mathrm{e}^{y+a z}\right]} \end{aligned} $$

故 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle\frac{1}{a}$ ，选 A．

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：对方程两边取全微分
给定方程 $x - a z = e^{y + a z}$，其中 $a$ 为常数。为了进行后续的隐函数求导，首先对方程两边同时取全微分。 左边为 $x - a z$，其全微分为 $d(x - a z) = dx - a \, dz$。 右边为 $e^{y + a z}$，令 $u = y + a z$，则右边为 $e^u$。根据全微分法则，$d(e^u) = e^u \, du$。而 $du = d(y + a z) = dy + a \, dz$。因此右边全微分为 $e^{y + a z} (dy + a \, dz)$。 于是得到全微分方程： $$dx - a \, dz = e^{y + a z} (dy + a \, dz)$$ 此步骤为后续整理并求解 $\frac{dz}{dx}$ 或 $\frac{dz}{dy}$ 奠定了基础。
公式：$$dx - a \, dz = e^{y + a z} (dy + a \, dz)$$
提示：取全微分时，将每个变量视为独立变量，对每一项分别求微分后再相加。
步骤 2/4
目标：整理出dz的表达式
由第一步得到的全微分方程： $$ dx - e^{y+az} dy - a(1+e^{y+az}) dz = 0 $$ 将含有 $dz$ 的项移到等式左边，其余项移到右边： $$ - a dz - a e^{y+az} dz = dx - e^{y+az} dy $$ 左边提取公因式 $-a$： $$ - a (1 + e^{y+az}) dz = dx - e^{y+az} dy $$ 两边同时除以 $-a(1+e^{y+az})$，得到 $dz$ 的表达式： $$ dz = \frac{1}{-a(1+e^{y+az})} (dx - e^{y+az} dy) $$ 将负号分配到分子中，整理成标准形式： $$ dz = -\frac{1}{a(1+e^{y+az})} dx + \frac{e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})} dy $$ 或者等价地写成： $$ dz = \frac{1}{a(1+e^{y+az})} dx - \frac{e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})} dy $$ 注意：这里 $dz$ 表达式中仍然含有 $z$，这是隐函数微分法的正常现象，后续步骤将利用初始条件确定具体形式。
公式：dz = \frac{1}{a(1+e^{y+az})} dx - \frac{e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})} dy
提示：移项时注意每一项的符号，提取公因式后检查系数是否正确。
步骤 3/4
目标：读出偏导数
已知函数 $z = z(x, y)$ 由方程 $x + e^{y + a z} = a z$ 所确定，其中 $a$ 为常数。在前两步中，我们已对原方程两边求全微分并整理得到全微分形式： $$ dz = \frac{1}{a(1+e^{y+a z})} dx - \frac{e^{y+a z}}{a(1+e^{y+a z})} dy. $$ 根据全微分的定义，对于二元函数 $z = z(x, y)$，其全微分可表示为： $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy. $$ 将上述两个表达式进行对比，$dx$ 的系数对应 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$dy$ 的系数对应 $\frac{\partial z}{\partial y}$。因此，直接读出偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{a(1+e^{y+a z})}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{e^{y+a z}}{a(1+e^{y+a z})}. $$ 注意，这里 $z$ 仍然是 $x$ 和 $y$ 的隐函数，因此偏导数表达式中含有 $z$ 是正常的，无需进一步消去。至此，我们成功读出了两个偏导数，为下一步代入具体数值或进一步化简做好准备。
公式：$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{a(1+e^{y+a z})}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{e^{y+a z}}{a(1+e^{y+a z})} $$
提示：对比全微分形式时，注意 $dx$ 和 $dy$ 的系数分别对应两个偏导数，符号不能遗漏。
步骤 4/4
目标：计算偏导的线性组合并判断选项
本步骤需要计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y}$ 的值，并与选项进行比对。 首先，由前几步已求得： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{a(1+e^{y+az})}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})}. $$ 代入线性组合表达式： $$ \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a(1+e^{y+az})} - \left(-\frac{e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})}\right) = \frac{1}{a(1+e^{y+az})} + \frac{e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})}. $$ 合并分子： $$ = \frac{1 + e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})}. $$ 由于分母 $1+e^{y+az} \neq 0$（指数函数恒正），可约去公因子： $$ = \frac{1}{a}. $$ 因此，$\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$，与选项A一致。 最终答案验证：该结果与变量 $x,y,z$ 无关，仅依赖于常数 $a$，符合题目隐含条件 $a \neq 0$。故正确选项为A。
公式：\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}
提示：注意∂z/∂y本身带有负号，相减时要转化为加法，最后约分即可得常数。

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