2026年考研数学二第4题

根据题意，我们需要计算右半段细杆的质心位置。细杆放置在$x$轴上，右半段对应$x$从$0$到$L$（设杆总长为$2L$，右半段长度为$L$）。在右半段上任意位置$x$处取一长度为$dx$的微元，该微元可视为质点。由于杆是均匀的，线密度为常数$\lambda = 1$（单位长度质量），因此该微元的质量$dm$等于线密度乘以微元长度，即$dm = \lambda \cdot dx = 1 \cdot dx = dx$。注意，这里$x$的取值范围是$0 \leq x \leq L$。微元的位置坐标为$(x,0)$。该微元的质量是后续计算质心坐标的基础，质心坐标公式为$x_c = \frac{\int x \, dm}{\int dm}$，其中分母为总质量，分子为质量矩。本步骤完成了微元的选取及其质量的表达，为下一步积分做准备。

考虑细杆上距离左端点为$x$处的一个微元，其长度为$dx$，质量为$dm = \frac{m}{L} dx$。该微元与质点$P$（位于细杆中垂线上，距杆中心距离为$a$，此处$a=1$）之间的距离为$r$。由于细杆沿$x$轴放置，左端在原点，右端在$L$处，质点$P$位于杆中垂线上，其坐标为$(\frac{L}{2}, 1)$。微元的坐标为$(x, 0)$，因此距离为： $$ r = \sqrt{(x - \frac{L}{2})^2 + 1^2} $$ 题目中假设细杆关于中垂线对称，且质点位于中垂线上，故常取对称简化，令坐标原点位于杆中心，则微元位置为$x$，质点位置为$(0,1)$，此时距离为： $$ r = \sqrt{x^2 + 1} $$ 根据万有引力定律，该微元对质点的引力大小为： $$ dF = G \cdot \frac{m \cdot dm}{r^2} = G \cdot \frac{m \cdot \frac{m}{L} dx}{x^2 + 1} = \frac{G m^2}{L} \cdot \frac{dx}{x^2 + 1} $$ 其中$G$为引力常数。注意，此处$m$为质点质量，细杆质量也为$m$，故乘积为$m^2$。该表达式给出了沿$x$方向（水平方向）的引力微元大小，后续步骤需考虑方向分量进行积分。

在上一部分中，我们得到了细杆上微元$dx$对质点产生的引力微元大小为： $$dF = \frac{G\,m\,dx}{x^2+1}$$ 现在需要将这个引力分解为水平方向（沿$x$轴方向）的分量。设质点位于原点，细杆沿$x$轴从$x=0$到$x=L$，微元$dx$位于坐标$x$处，则微元到质点的距离为$r=\sqrt{x^2+1}$。引力$dF$的方向沿着微元与质点的连线，指向微元。水平分量$dF_x$等于$dF$乘以连线方向与水平方向夹角的余弦。该夹角的余弦值为邻边（水平距离$x$）除以斜边$r$，即$\cos\theta = \frac{x}{r}$。因此： $$dF_x = dF \cdot \cos\theta = dF \cdot \frac{x}{r}$$ 代入$dF$和$r$的表达式： $$dF_x = \frac{G\,m\,dx}{x^2+1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{G\,m\,x}{(x^2+1)^{3/2}}\,dx$$ 这就是细杆上任意微元对质点产生的水平引力微元。注意，当$x>0$时，$dF_x$为正，表示水平分量指向$x$轴正方向；当$x<0$时，$dF_x$为负，表示水平分量指向$x$轴负方向。在本问题中，细杆位于$x\ge0$区域，因此所有微元的水平分量均沿$x$轴正方向。后续步骤将对$dF_x$从$x=0$到$x=L$积分，得到整个细杆对质点的水平引力。

本步骤对右半段细杆的水平分量引力进行积分，然后乘以2得到整根细杆对质点的总引力。 首先，右半段细杆上距离原点为$x$的微元$dm$对质点的引力水平分量为： $$dF_x = \frac{G m \, dm}{(x^2+1)^{3/2}} \cdot x$$ 其中$dm = \lambda dx = \frac{M}{2} dx$（因为总质量$M$均匀分布在长度$2$上，线密度$\lambda = \frac{M}{2}$）。代入得： $$dF_x = \frac{G m \cdot \frac{M}{2} \, x}{(x^2+1)^{3/2}} dx = \frac{G m M}{2} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} dx$$ 对$x$从$0$到$1$积分，得到右半段细杆对质点的水平引力分量： $$F_{x,\text{右}} = \frac{G m M}{2} \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} dx$$ 计算该积分：令$u = x^2+1$，则$du = 2x dx$，$x dx = \frac{du}{2}$。当$x=0$时$u=1$，当$x=1$时$u=2$。于是： $$\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} dx = \int_1^2 \frac{1}{u^{3/2}} \cdot \frac{du}{2} = \frac12 \int_1^2 u^{-3/2} du = \frac12 \left[ -2 u^{-1/2} \right]_1^2 = -\left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 因此： $$F_{x,\text{右}} = \frac{G m M}{2} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ 由于细杆关于$y$轴对称，左半段产生的水平引力与右半段大小相等、方向相同（均指向$y$轴负方向），故总引力为右半段的两倍： $$F_x = 2 \cdot F_{x,\text{右}} = 2 \cdot \frac{G m M}{2} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = G m M \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ 最终答案与选项C一致。验证：当$m$和$M$为正时，引力方向指向细杆，大小为正值，且量纲正确（$G$的量纲为$[L^3M^{-1}T^{-2}]$，乘以质量平方再除以长度平方得力的量纲$[MLT^{-2}]$）。