2026年考研数学二第5题

选项A的表述为：若函数$f(x)$在区间$(-1,0)$内单调递减，在区间$(0,1)$内单调递增，则$x=0$是$f(x)$的极小值点。我们需要判断该命题是否正确。\n\n为了否定该命题，构造一个反例。考虑分段函数：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}$$\n\n首先分析单调性：\n- 当$x<0$时，$f(x)=x^2+1$，其导数为$f'(x)=2x$。在$(-1,0)$内，$x<0$，故$f'(x)<0$，因此$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减。\n- 当$x>0$时，$f(x)=x$，其导数为$f'(x)=1>0$，因此$f(x)$在$(0,1)$上单调递增。\n\n可见该函数满足选项A的条件：在$(-1,0)$递减，在$(0,1)$递增。\n\n现在考察$x=0$处的函数值：$f(0)=0$。但在$x=0$的左侧邻域内，例如$x=-0.1$时，$f(-0.1)=(-0.1)^2+1=1.01$，大于$f(0)=0$；而在$x=0$的右侧邻域内，例如$x=0.1$时，$f(0.1)=0.1$，也大于$f(0)=0$。因此$x=0$处的函数值$0$比其左右两侧的函数值都小，所以$x=0$实际上是极小值点？\n\n注意：我们构造的反例需要使得$x=0$不是极小值点。上述函数中$f(0)=0$，而左侧$f(-0.1)=1.01>0$，右侧$f(0.1)=0.1>0$，所以$0$确实比左右都小，因此$x=0$是极小值点，这个反例无效。\n\n我们需要重新构造一个反例，使得在$x=0$处函数值不是最小的。考虑函数：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}$$\n这个函数在$x=0$处左极限为$1$，右极限为$0$，但$f(0)=0$，实际上$0$比左侧的$1$小，但比右侧的$0.1$也小，所以仍然是极小值。\n\n正确的反例应为：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ x+1, & x\geq 0 \end{cases}$$\n此时：\n- 当$x<0$时，$f(x)=x^2+1$，在$(-1,0)$内$f'(x)=2x<0$，递减。\n- 当$x>0$时，$f(x)=x+1$，在$(0,1)$内$f'(x)=1>0$，递增。\n- 在$x=0$处，$f(0)=1$。\n- 左侧邻域：$x=-0.1$时，$f(-0.1)=1.01>1$；右侧邻域：$x=0.1$时，$f(0.1)=1.1>1$。\n此时$x=0$处的函数值$1$比左右两侧都小，仍然是极小值。\n\n我们需要一个反例使得$x=0$处不是极小值，即存在一侧的函数值比$f(0)$小。考虑：\n$$f(x)=\begin{cases} -x^2+1, & x<0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}$$\n- 当$x<0$时，$f(x)=-x^2+1$，在$(-1,0)$内$f'(x)=-2x>0$（因为$x<0$），所以递增，不满足递减条件。\n\n实际上，正确的反例应为：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}$$\n但注意，在$x=0$处，左极限为$1$，右极限为$0$，函数值$f(0)=0$，左侧邻域的函数值均大于$0$，右侧邻域的函数值也大于$0$（因为$x>0$时$f(x)=x>0$），所以$0$是极小值。\n\n我们需要一个函数，在$x=0$处有跳跃，且$f(0)$不是最小值。例如：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ 0.5, & x=0 \\ x, & x>0 \end{cases}$$\n但这样$x=0$处单独定义，不连续。\n\n更简单的反例：$f(x)=x^2$在$(-1,0)$递减，在$(0,1)$递增，且$x=0$是极小值，符合选项，不能作为反例。\n\n实际上，选项A是正确的命题：若函数在$x=0$两侧单调性相反，且$f(x)$在$x=0$处连续，则$x=0$是极值点。但题目中未说明连续性，因此反例应利用不连续点。\n\n正确反例：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ x, & x>0 \end{cases}$$\n此时在$(-1,0)$递减，在$(0,1)$递增，但$f(0)=0$，左侧邻域$f(x)>1>0$，右侧邻域$f(x)>0$，所以$0$是极小值。\n\n实际上，要构造$x=0$不是极小值的反例，需要让$f(0)$大于某侧的函数值。例如：\n$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ 2, & x=0 \\ x, & x>0 \end{cases}$$\n此时$f(0)=2$，左侧$f(x)>1$但小于$2$？$x=-0.1$时$f=1.01<2$，所以左侧有比$f(0)$小的值，因此$x=0$不是极小值。但此时$f$在$x=0$处不连续。\n\n因此，选项A错误，因为函数可能不连续，导致$x=0$不是极值点。\n\n综上，选项A不正确，排除。

选项B的表述为：若$f(x)$在$x=0$处取得极小值，则存在$δ>0$，使得$f(x)$在$(-δ,0)$上单调递减，在$(0,δ)$上单调递增。为了判断该命题是否正确，我们尝试构造一个反例。 考虑函数： $$f(x)=\begin{cases} -x^2+1, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$$ 首先验证$x=0$是否为极小值点。对于任意$x\neq 0$，有$-x^2+1 < 1$，而$f(0)=0$。实际上，当$x$接近0时，$-x^2+1$接近1，但$f(0)=0$小于这些值，因此$f(0)=0$是极小值（注意：极小值定义要求存在邻域内$f(0)\leq f(x)$，这里$f(0)=0$，而邻域内$f(x)$最大为1，但$f(0)$确实小于所有非零点的函数值，所以是极小值）。 接下来分析单调性。当$x\neq 0$时，$f(x)=-x^2+1$，其导数为$f'(x)=-2x$。在区间$(-1,0)$上，$x<0$，故$-2x>0$，因此$f(x)$在$(-1,0)$上严格递增。在区间$(0,1)$上，$x>0$，故$-2x<0$，因此$f(x)$在$(0,1)$上严格递减。 由此可见，在$x=0$的任意去心邻域内（例如取$δ=1$），函数在$(-δ,0)$上递增，在$(0,δ)$上递减，这与选项B中“递减再递增”的结论恰好相反。因此选项B被反例推翻。 注意：该反例说明，极小值点不一定要求函数在左侧递减、右侧递增，函数可以在极小值点左侧递增、右侧递减，只要该点的函数值小于邻域内其他点的函数值即可。

选项C：若$f(x)$在$(-\infty,1]$上可导且为凸函数，则对任意$x_1

公式：\frac{f(1)-f(x_1)}{1-x_1} \leq \frac{f(1)-f(x_2)}{1-x_2}, \quad x_1

提示：凸函数割线斜率关于右端点单调递增，固定右端点时左端点越近斜率越大。

步骤 4/5

目标：分析选项D

选项D声称：若函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上可导，且对任意$x_1

公式：\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \text{ 单调递增} \iff f'(x) \text{ 单调递增} \iff f(x) \text{ 是凸函数}

提示：差商单调递增等价于导函数单调递增，对应凸函数，而非凹函数。

步骤 5/5

目标：确定正确答案

综合前四步的分析，我们逐一验证每个选项的正确性。 **选项A**：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，但题目中给出的极限是$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 0$，显然错误。 **选项B**：函数$f(x)=x^2$在$x=0$处可导，但$f'(0)=0$，而题目中声称$f'(0)=1$，错误。 **选项C**：设$F(x)=\int_0^x e^{t^2}dt$，则$F'(x)=e^{x^2}$，由微积分基本定理，$F'(0)=e^0=1$，且$F(0)=0$，故$F(x)$在$x=0$处的切线斜率为1，切线方程为$y=x$，与题目描述一致。因此选项C正确。 **选项D**：曲线$y=x^3$在$x=0$处的切线为$y=0$（水平线），而题目中描述切线为$y=x$，错误。 **验证**：对于选项C，计算$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x e^{t^2}dt}{x}$，应用洛必达法则得$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}}{1}=1$，确实满足导数等于1，且$F(0)=0$，所以切线方程为$y-0=1\cdot(x-0)$，即$y=x$。 因此，只有选项C符合所有条件，正确答案为C。

公式：\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x e^{t^2}dt}{x} = 1

提示：验证切线方程时，需同时检查函数值$F(0)=0$和导数值$F'(0)=1$。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。

← 第4题 返回列表 第6题 →