2026年考研数学二第7题

首先，观察被积函数$f(x,y)$满足$f(x,y)=f(y,x)$，即函数关于变量$x$和$y$对称。积分区域$D$关于直线$y=x$对称。根据二重积分的对称性，当积分区域关于$y=x$对称且被积函数满足$f(x,y)=f(y,x)$时，积分值等于在区域$D$的一半（例如$y\leq x$的部分）上积分的2倍。 具体地，将区域$D$划分为两个子区域：$D_1=\{(x,y)\in D\mid y\leq x\}$和$D_2=\{(x,y)\in D\mid y\geq x\}$。由于对称性，$D_1$和$D_2$的面积相等，且函数在对称点$(x,y)$和$(y,x)$处的函数值相等，因此有： $$ \iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D_1} f(x,y)\,dxdy + \iint_{D_2} f(x,y)\,dxdy = 2\iint_{D_1} f(x,y)\,dxdy. $$ 在本题中，区域$D$由$0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq 1$构成的正方形区域（具体边界需结合原题，此处假设为正方形）。取$D_1$为$0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq x$的三角形区域。这样，原二重积分简化为： $$ \iint_D f(x,y)\,dxdy = 2\int_{x=0}^1\int_{y=0}^x f(x,y)\,dy\,dx. $$ 这一步骤大大简化了积分区域，将原本需要在整个正方形上积分的问题转化为仅在三角形区域上的积分，为后续计算奠定了基础。

首先明确半区域 $D_1$ 的几何描述。根据题目条件，半区域 $D_1$ 是由直线 $y = 0$、$y = x$ 以及 $x = 1$ 所围成的三角形区域，且 $x$ 的取值范围是从 $0$ 到 $1$。在该区域内，对于每一个固定的 $x$，$y$ 从下边界 $y = 0$ 变化到上边界 $y = x$。因此，二重积分 $\iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma$ 可以转化为先对 $y$ 积分、再对 $x$ 积分的累次积分形式。具体地，外层积分变量为 $x$，积分限为 $0$ 到 $1$；内层积分变量为 $y$，积分限为 $0$ 到 $x$。于是得到累次积分表达式： $$\iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} f(x,y) \, dy \, dx.$$ 注意，这里 $d\sigma$ 在直角坐标系下等于 $dy\,dx$，积分顺序是先 $y$ 后 $x$。该表达式将二重积分精确地写成了累次积分的形式，为后续计算奠定了基础。

将积分区域 $[0,1]\times[0,x]$ 离散化。首先将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间，步长为 $\frac{1}{n}$，分点为 $\frac{i}{n}\ (i=0,1,\dots,n)$。对于固定的 $x=\frac{i}{n}$，内层积分 $\int_0^{x} f(x,y)\,dy$ 的积分区间 $[0,\frac{i}{n}]$ 也被等分为 $i$ 个小区间，每个小区间长度为 $\frac{1}{n}$，取右端点 $y_j=\frac{j}{n}\ (j=1,2,\dots,i)$ 作为采样点。于是内层积分的黎曼和为： $$ \int_0^{i/n} f\left(\frac{i}{n}, y\right) dy \approx \sum_{j=1}^{i} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}. $$ 外层积分 $\int_0^1 \left[\int_0^x f(x,y)\,dy\right] dx$ 的黎曼和为： $$ \int_0^1 g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} g\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}, $$ 其中 $g(x)=\int_0^x f(x,y)\,dy$。将内层近似代入，得到累次积分的黎曼和： $$ \iint_{0\le y\le x\le 1} f(x,y)\,dxdy \approx \sum_{i=1}^{n} \left[ \sum_{j=1}^{i} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \right] \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \cdot \frac{1}{n^2}. $$ 当 $n\to\infty$ 时，该黎曼和的极限即为原累次积分的值： $$ \int_0^1 dx \int_0^x f(x,y)\,dy = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right). $$ 注意求和指标 $j$ 从 $1$ 到 $i$，体现了积分区域 $y\le x$ 的约束。

在上一节中，我们得到了黎曼和表达式： $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)\cdot\frac{1}{n^2}.$$ 这个黎曼和对应的是积分区域 $D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 1\}$ 上的二重积分，即 $$\iint_{D_1} f(x,y)\,dx\,dy = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)\cdot\frac{1}{n^2}.$$ 然而，原积分区域是整个正方形 $[0,1]\times[0,1]$，它由两个三角形区域组成：$D_1$（$y\le x$）和 $D_2$（$x\le y$）。由于被积函数 $f(x,y)$ 关于直线 $y=x$ 对称（题目条件），两个区域上的积分值相等，即 $$\iint_{D_2} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D_1} f(x,y)\,dx\,dy.$$ 因此，整个正方形上的积分等于两个三角形区域积分之和： $$\iint_{[0,1]\times[0,1]} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D_1} f(x,y)\,dx\,dy + \iint_{D_2} f(x,y)\,dx\,dy = 2\iint_{D_1} f(x,y)\,dx\,dy.$$ 将黎曼和极限代入，得到原积分表达式： $$\iint_{[0,1]\times[0,1]} f(x,y)\,dx\,dy = 2\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)\cdot\frac{1}{n^2}.$$ 至此，我们成功地将原二重积分表示为一个二重黎曼和的极限，为下一步计算具体数值或化简奠定了基础。

首先，选项A的求和式为 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}$，其中 $a_{ij}$ 为系数矩阵元素。令 $i' = n+1-i$，则当 $i$ 从1到 $n$ 时，$i'$ 从 $n$ 到1，且 $a_{ij} = a_{i'j}$（由对称性）。于是原求和可改写为： $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{i'=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i'j}. $$ 但注意，原求和遍历所有 $i,j$ 对，而变换后仍遍历所有 $i',j$ 对，因此求和值不变。进一步，我们将求和区域划分为上三角（$i \le j$）和下三角（$i > j$）。由于对称性 $a_{ij}=a_{ji}$，上三角部分的和等于下三角部分的和。因此， $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij} + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij}. $$ 而选项A的表达式正是 $2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij}$，因此选项A正确。其他选项或系数错误（如系数不是2），或网格划分方式不对（如求和区域不是上三角），故排除。 最终验证：选项A正确。