2026年考研数学二第8题

置换矩阵（Permutation Matrix）是指每行每列恰好只有一个元素为1，其余元素均为0的方阵。它对应于有限集合上的置换（排列）操作。在矩阵乘法中，左乘一个置换矩阵相当于对原矩阵的行进行置换，右乘则相当于对列进行置换。 特别地，互换两行的初等矩阵（elementary matrix）$E_{ij}$ 是将单位矩阵 $I$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换后得到的矩阵。例如，对于 $3 \times 3$ 矩阵，互换第2行与第3行的初等矩阵为： $$ E_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 任意一个置换矩阵 $A$ 都可以表示为若干个这样的初等矩阵 $E_{ij}$ 的乘积。这是因为任何一个置换都可以分解为若干个对换（transposition）的复合，而对换对应着互换两行的初等矩阵。例如，置换 $(1\ 2\ 3)$（将第1行移到第2行，第2行移到第3行，第3行移到第1行）可以分解为对换 $(1\ 3)$ 与 $(1\ 2)$ 的复合，因此对应的置换矩阵可写为 $A = E_{13} E_{12}$。 更一般地，设 $\sigma$ 是 $n$ 元置换，其对应的置换矩阵 $P_\sigma$ 的第 $i$ 行第 $\sigma(i)$ 列元素为1。若将 $\sigma$ 分解为 $k$ 个对换的乘积：$\sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k$，则 $P_\sigma = E_{\tau_1} E_{\tau_2} \cdots E_{\tau_k}$，其中 $E_{\tau}$ 表示对应对换 $\tau$ 的初等矩阵。注意乘积顺序与置换复合顺序相反（因为矩阵乘法从左到右作用于行）。 理解这一表示对于后续计算置换矩阵的行列式、逆矩阵以及特征值等性质至关重要。例如，由于每个 $E_{ij}$ 的行列式为 $-1$，且 $E_{ij}^{-1} = E_{ij}$，因此置换矩阵 $A$ 的行列式为 $(-1)^k$，其中 $k$ 为分解中对换的个数（即置换的奇偶性）。

由第1步已知，矩阵$A$可以表示为一系列初等置换矩阵的乘积：$A = P_1 P_2 \cdots P_k$，其中每个$P_i$均为初等置换矩阵（即交换两行的初等矩阵）。初等置换矩阵的一个重要性质是：$P_i^2 = I$，即每个初等置换矩阵的逆等于自身，$P_i^{-1} = P_i$。 因此，求$A$的逆矩阵时，可以利用逆矩阵的乘积性质：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。将$A$的表达式代入，有 $$A^{-1} = (P_1 P_2 \cdots P_k)^{-1} = P_k^{-1} \cdots P_2^{-1} P_1^{-1} = P_k \cdots P_2 P_1.$$ 即$A^{-1}$等于$A$中各个初等置换矩阵按相反顺序的乘积。由于每个$P_i$都是置换矩阵，它们的乘积仍然是置换矩阵，故$A^{-1}$也是置换矩阵。 进一步分析，若$A$对应的置换为$\sigma$（即$A$左乘一个向量相当于对该向量的分量进行置换$\sigma$），则$A^{-1}$对应的置换就是$\sigma$的逆置换$\sigma^{-1}$。由于置换矩阵的逆矩阵等于其转置，即$A^{-1} = A^T$，因此$A^{-1}$也是一个置换矩阵，且与$A$有相同的结构（只是置换方向相反）。 对照选项，选项B指出“$A^{-1}$是置换矩阵”，这与上述推导完全一致。其他选项可能涉及$A^{-1}$等于$A$本身（仅当$\sigma$为对合时成立）或$A^{-1}$是单位矩阵（仅当$A=I$时成立），均不普遍成立。因此，根据推导，选项B正确。

由伴随矩阵与逆矩阵的基本关系可知，对于任意可逆方阵$A$，有$A^* = |A| \cdot A^{-1}$。本题中$A$是置换矩阵，其行列式$|A|$的值为$\pm 1$，具体符号取决于置换中行（或列）互换的次数$k$：若$k$为偶数，则$|A|=1$；若$k$为奇数，则$|A|=-1$。因此$|A| = \pm 1$。 将$|A| = \pm 1$代入关系式$A^* = |A| \cdot A^{-1}$，得到$A^* = \pm A^{-1}$。这意味着$A^*$与$A^{-1}$至多相差一个符号。 进一步，由于置换矩阵是正交矩阵，即$A^T = A^{-1}$，因此$A^* = \pm A^T$。这一关系将伴随矩阵与转置矩阵联系起来，为后续步骤中判断$A^*$与$A$的关系提供了关键桥梁。 注意：当$|A|=1$时，$A^* = A^{-1} = A^T$；当$|A|=-1$时，$A^* = -A^{-1} = -A^T$。

首先分析选项A：当$n$为奇数时，$A^* = |A|A^{-1}$，而$|A| = \pm 1$（因为$A$是正交矩阵，行列式为$\pm 1$）。若$n$为奇数且$|A| = -1$，则$A^* = -A^{-1}$。$-A^{-1}$一般不是置换矩阵，因为置换矩阵的元素非负且每行每列只有一个1，而$-A^{-1}$的元素可能为负，且不一定满足置换矩阵的结构。因此选项A错误。 接着分析选项C和D：$A^{-1}$与$A^*$的关系为$A^* = |A|A^{-1}$，即$A^*$与$A^{-1}$相差一个因子$|A| = \pm 1$。因此$A^*$与$A^{-1}$不一定相等，只有当$|A|=1$时才相等。而题目未给出$|A|$的具体值，故不能保证$A^* = A^{-1}$，所以选项C和D均错误。 综上，所有选项A、C、D均不正确，但题目要求选出正确选项，因此本题无正确选项（或根据原题设计，可能只有B正确，但本步骤仅判断A、C、D）。最终答案：A、C、D均为错误。