2004年考研数学三第18题

首先，已知需求函数为 $Q = 100 - 5P$，其中 $Q$ 表示需求量，$P$ 表示价格。需求价格弹性 $E_d$ 的定义为：需求量变化的百分比与价格变化的百分比之比，其计算公式为 $E_d = -\frac{P}{Q} \cdot \frac{dQ}{dP}$。 第一步，对需求函数 $Q = 100 - 5P$ 关于价格 $P$ 求导，得到导数： $$\frac{dQ}{dP} = -5$$ 该导数表示价格每变动一个单位，需求量反向变动5个单位。 第二步，将导数代入弹性公式： $$E_d = -\frac{P}{Q} \cdot (-5) = \frac{5P}{Q}$$ 第三步，将需求函数 $Q = 100 - 5P$ 代入上式，消去 $Q$： $$E_d = \frac{5P}{100 - 5P}$$ 第四步，对分子分母同时除以5进行化简： $$E_d = \frac{P}{20 - P}$$ 因此，需求价格弹性 $E_d$ 的表达式为 $E_d = \frac{P}{20 - P}$。注意，该表达式仅在 $P < 20$ 时有效（因为当 $P \geq 20$ 时，需求量 $Q \leq 0$，经济意义不成立）。

首先，根据题目已知条件，需求函数为 $Q = 100 - 5P$，其中 $P$ 表示价格，$Q$ 表示需求量。收益函数 $R$ 定义为价格与需求量的乘积，即 $R = P \cdot Q$。将需求函数代入收益函数，得到 $R = P \cdot (100 - 5P) = 100P - 5P^2$。 为了分析收益随价格的变化情况，我们需要对收益函数关于价格 $P$ 求导。求导过程如下： $$\frac{dR}{dP} = \frac{d}{dP}(100P - 5P^2) = 100 - 10P.$$ 另外，也可以利用乘积法则进行求导：$\frac{dR}{dP} = Q + P \cdot \frac{dQ}{dP}$。已知 $Q = 100 - 5P$，且 $\frac{dQ}{dP} = -5$，代入得： $$\frac{dR}{dP} = (100 - 5P) + P \cdot (-5) = 100 - 5P - 5P = 100 - 10P.$$ 两种方法结果一致，得到收益函数关于价格的导数为 $\frac{dR}{dP} = 100 - 10P$。这个导数表示收益随价格变化的瞬时变化率，是后续分析收益最大化问题的基础。

首先，已知需求函数为 $Q = 100 - 5P$，价格弹性 $E_d = -\frac{P}{Q} \cdot \frac{dQ}{dP}$。由 $Q = 100 - 5P$ 得 $\frac{dQ}{dP} = -5$，代入弹性公式： $$E_d = -\frac{P}{100-5P} \cdot (-5) = \frac{5P}{100-5P} = \frac{P}{20-P}$$ 注意此处 $E_d$ 为正值（习惯上取绝对值），故 $E_d = \frac{P}{20-P}$。 接下来计算 $Q(1 - E_d)$： $$Q(1 - E_d) = (100-5P)\left(1 - \frac{P}{20-P}\right)$$ 将括号内通分： $$1 - \frac{P}{20-P} = \frac{20-P}{20-P} - \frac{P}{20-P} = \frac{20-2P}{20-P} = \frac{2(10-P)}{20-P}$$ 于是 $$Q(1 - E_d) = (100-5P) \cdot \frac{2(10-P)}{20-P}$$ 因 $100-5P = 5(20-P)$，代入得： $$Q(1 - E_d) = 5(20-P) \cdot \frac{2(10-P)}{20-P} = 10(10-P) = 100 - 10P$$ 另一方面，总收入 $R = P \cdot Q = P(100-5P) = 100P - 5P^2$，对 $P$ 求导： $$\frac{dR}{dP} = 100 - 10P$$ 显然 $\frac{dR}{dP} = 100 - 10P = Q(1 - E_d)$，故等式成立。

我们已知收益函数对价格的导数表达式为 $\frac{dR}{dP} = Q(1 - E_d)$，其中 $E_d = -\frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}$ 为需求价格弹性。降价使收益增加等价于价格下降时收益上升，即 $\frac{dR}{dP} < 0$。因此，我们需要求解不等式 $Q(1 - E_d) < 0$。由于需求量 $Q > 0$（商品正常销售），不等式两边同除以正数 $Q$ 不改变不等号方向，得到 $1 - E_d < 0$，即 $E_d > 1$。这表示需求富有弹性时，降价会使收益增加。 题目中已给出弹性公式 $E_d = \frac{P}{20 - P}$（由需求函数 $Q = 120 - 6P$ 推导得出）。代入不等式 $E_d > 1$ 得： $$ \frac{P}{20 - P} > 1 $$ 由于价格 $P$ 满足 $0 < P < 20$（否则需求非正），分母 $20 - P > 0$，可两边同乘正数 $20 - P$，不等号方向不变： $$ P > 20 - P $$ 移项得 $2P > 20$，即 $P > 10$。 因此，当价格 $P > 10$ 时，降价会使收益增加。注意，价格上限为 $20$，所以实际条件为 $10 < P < 20$。

前一步已得到收益函数 $R(P) = P \cdot Q(P)$ 在 $P > 10$ 时单调递减，即价格降低（$P$ 减小）反而使收益增加。但价格 $P$ 必须满足实际意义下的定义域。根据题目条件，价格 $P$ 的取值范围为 $(0, 20)$（通常由市场需求或成本限制给出）。因此，将单调性结论与定义域取交集： - 单调递减区间：$P > 10$； - 定义域：$P \in (0, 20)$。 两者的交集为 $P \in (10, 20)$。 因此，当价格 $P$ 在区间 $(10, 20)$ 内时，降低价格（即 $P$ 减小）会导致收益 $R(P)$ 增加。注意端点 $P=10$ 处收益达到极大值（由前一步导数等于零得到），$P=20$ 为定义域上界，$P$ 不能超过 20。 最终答案：价格 $P$ 的取值范围为 $(10, 20)$。验证：取 $P=15$ 和 $P=12$，若 $R(15) < R(12)$，则说明降低价格收益增加，符合结论。