若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin x}{\mathrm{e}^{x}-a}(\cos x-b)=5$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
函数 $f(u, v)$ 由关系式 $f[x g(y), y]=x+g(y)$ 确定，其中函数 $g(y)$ 可微，且 $g(y) \neq 0$ ，则 $\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \mathrm{e}^{x^{2}}, & -\displaystyle\frac{1}{2} \leqslant x\lt\displaystyle\frac{1}{2} \\ -1, & x \geqslant \displaystyle\frac{1}{2},\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{1}{2}}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 $\_\_\_\_$。
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ ，总体 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{1}}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}$ ， $\cdots, Y_{n_{2}}$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则 $$ E\left[\frac{\sum_{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+\sum_{j=1}^{n_{2}}\left(Y_{j}-\bar{Y}\right)^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\right]= $$ $\_\_\_\_$ ．
函数 $f(x)=\displaystyle\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^{2}}$ 在下列哪个区间内有界（ ）
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}f\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则（ ）
设有以下命题： （1）若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛； （2）若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+100}$ 收敛； （3）若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\gt 1$ ，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散； （4）若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}, \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 都收敛。 则以上命题中正确的是（ ）
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{\prime}(a)\gt 0, f^{\prime}(b)\lt 0$ ，则下列结论中错误的是（ ）
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则必有（ ）
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*} \neq \boldsymbol{O}$ ，若 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}, \boldsymbol{\xi}_{4}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系（ ）
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0\lt\alpha\lt 1)$ ，数 $u_{\alpha}$ 满足 $P\left\{X\gt u_{\alpha}\right\}=\alpha$ 。若 $P\{|X|\lt x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于（ ）
求 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1}{\sin ^{2} x}-\displaystyle\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ．
求 $\iint_{D}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 和 $(x+1)^{2}+y^{2}=1$ 所围成的平面区域。
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且满足
$$
\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, \quad x \in[a, b), \quad \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t,
$$
证明： $\displaystyle\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ ．
设某商品的需求函数为 $Q=100-5 P$ ，其中价格 $P \in(0,20), Q$ 为需求量． （I）求需求量对价格的弹性 $E_{d}\left(E_{d}\gt 0\right)$ ； （II）推导 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}=Q\left(1-E_{d}\right)$（其中 $R$ 为收益），并用弹性 $E_{d}$ 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加．
设级数
$$
\frac{x^{4}}{2 \times 4}+\frac{x^{6}}{2 \times 4 \times 6}+\frac{x^{8}}{2 \times 4 \times 6 \times 8}+\cdots(-\infty\lt x\lt+\infty)
$$
的和函数为 $S(x)$ 。求：
（ I ）$S(x)$ 所满足的一阶微分方程；
（II）$S(x)$ 的表达式。
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a+2,-3 a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,-b-2, a+2 b)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1,3,-3)^{\mathrm{T}}$ ，试讨论当 $a, b$ 为何值时， （ I） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示； （II） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 唯一地线性表示，并求出表示式； （III） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
设 $n$ 阶矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & b & \cdots & b \\
b & 1 & \cdots & b \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b & b & \cdots & 1
\end{array}\right)
$$
（ I ）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量；
（II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵。
设 $A, B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=\displaystyle\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，令
$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A \text { 发生, } \\
0, & A \text { 不发生, }
\end{array}\right. \quad Y= \begin{cases}1, & B \text { 发生, } \\
0, & B \text { 不发生. }\end{cases}
$$
求：（I）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（II）$X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ；
（III）$Z=X^{2}+Y^{2}$ 的概率分布．
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x ; \alpha, \beta)= \begin{cases}1-\left(\frac{\alpha}{x}\right)^{\beta}, & x\gt\alpha, \\ 0, & x \leqslant \alpha,\end{cases}
$$
其中参数 $\alpha\gt 0, \beta\gt 1$ 。设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，
（I）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的矩估计量；
（II）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的最大似然估计量；
（III）当 $\beta=2$ 时，求未知参数 $\alpha$ 的最大似然估计量．