2004年考研数学三第3题

给定积分： $$ I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f(x-1) \, dx. $$ 令 $t = x - 1$，则 $dx = dt$。积分限变换： - 当 $x = \frac{1}{2}$ 时，$t = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$。 - 当 $x = 2$ 时，$t = 2 - 1 = 1$。 因此，积分变为： $$ I = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} f(t) \, dt. $$ 这一步通过简单的变量代换，将积分区间化为 $[-\frac{1}{2}, 1]$，且该区间正好覆盖了 $f(t)$ 的分段点 $t = \frac{1}{2}$。

函数 $f(t)$ 的分段定义： $$ f(t) = \begin{cases} t \mathrm{e}^{t^{2}}, & -\frac{1}{2} \leqslant t < \frac{1}{2} \\ -1, & t \geqslant \frac{1}{2}. \end{cases} $$ 积分区间 $[-\frac{1}{2}, 1]$ 包含分段点 $t = \frac{1}{2}$，因此拆分为两部分： $$ I = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(t) \, dt. $$ 对于第一部分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \, dt$，注意到被积函数 $g(t) = t \mathrm{e}^{t^{2}}$ 是**奇函数**（$g(-t) = -g(t)$），且积分区间 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 关于原点对称，因此： $$ \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \, dt = 0. $$ 对于第二部分，$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (-1) \, dt = -\int_{\frac{1}{2}}^{1} dt = -\left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$。 因此，$I = 0 + (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$。

第二部分积分对应分段函数的第二段：$f(t) = -1$，积分区间 $[\frac{1}{2}, 1]$。 直接计算： $$ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (-1) \, dt = -\int_{\frac{1}{2}}^{1} dt = -\left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}. $$ 第一部分积分（步骤2已说明）因为被积函数是奇函数且在对称区间上积分，结果为 $0$。 因此，总和： $$ I = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}. $$ 这一步完成了积分的计算，得到了最终结果。

已求得积分值： $$ I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f(x-1) \, dx = -\frac{1}{2}. $$ 验证： 1. **变量代换检查**：令 $t = x-1$，积分限从 $x=\frac{1}{2}$ 到 $2$ 对应 $t=-\frac{1}{2}$ 到 $1$，正确。 2. **分段拆分检查**：$f(t)$ 在 $t=\frac{1}{2}$ 处分段，区间 $[-\frac{1}{2}, 1]$ 拆分为 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2}, 1]$，正确。 3. **奇函数性质**：$g(t)=t e^{t^2}$ 满足 $g(-t)=-g(t)$，在对称区间 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上积分为 $0$，正确。 4. **第二部分积分**：$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (-1) \, dt = -\frac{1}{2}$，正确。 因此，最终答案 $-\frac{1}{2}$ 正确。 总结：本题通过变量代换化简积分区间，再利用分段函数的分段点拆分区间，结合奇函数性质和简单定积分计算，最终得到结果。