2004年考研数学三第2题

首先，我们进行变量代换以简化原关系式。令 $u = x g(y)$，$v = y$，其中 $g(y)$ 是已知函数。原关系式中的自变量为 $x$ 和 $y$，我们需要将 $x$ 和 $y$ 表示为 $u$ 和 $v$ 的函数。由 $v = y$ 直接得到 $y = v$。再由 $u = x g(y)$ 且 $y = v$，可得 $u = x g(v)$，因此 $x = \dfrac{u}{g(v)}$。这样，我们就完成了变量代换：原自变量 $(x, y)$ 被新自变量 $(u, v)$ 替换，且变换关系为 $$ \begin{cases} x = \dfrac{u}{g(v)}, \\[4pt] y = v. \end{cases} $$ 接下来，我们需要将原关系式中关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数转换为关于 $u$ 和 $v$ 的偏导数。设 $z = f(x, y)$ 是原函数，则在新变量下 $z$ 可视为 $u$ 和 $v$ 的函数，即 $z = f\left(\dfrac{u}{g(v)}, v\right)$。利用链式法则，我们可以计算 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 关于 $u, v$ 的表达式。具体地， $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}. $$ 由 $u = x g(v)$ 得 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = g(v)$，而 $v = y$ 与 $x$ 无关，故 $\dfrac{\partial v}{\partial x} = 0$。因此 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = g(v) \frac{\partial z}{\partial u}. $$ 类似地， $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}. $$ 由 $u = x g(v)$ 且 $v = y$，得 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = x g'(v) = \dfrac{u}{g(v)} g'(v)$，而 $\dfrac{\partial v}{\partial y} = 1$。所以 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{u g'(v)}{g(v)} \frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v}. $$ 至此，我们完成了变量代换的初步推导，为后续步骤中代入原关系式做好了准备。

根据题目给定的变换关系，我们需要从新变量$u$和$v$反解出原变量$x$和$y$。已知变换为： $$u = x \cdot g(y), \quad v = y.$$ 首先，由第二个方程$v = y$直接得到$y = v$。 将$y = v$代入第一个方程$u = x \cdot g(y)$，得到： $$u = x \cdot g(v).$$ 由于$g(v)$是已知函数（题目中$g(\cdot)$为某一给定函数），且假设$g(v) \neq 0$（否则变换不可逆），我们可以两边同时除以$g(v)$，解得： $$x = \frac{u}{g(v)}.$$ 因此，反解结果为： $$\begin{cases} x = \dfrac{u}{g(v)}, \\ y = v. \end{cases}$$ 这一步是变量替换中的关键环节，它将原变量$(x,y)$用新变量$(u,v)$表示，为后续计算雅可比行列式或进行积分换元做好准备。注意，这里要求$g(v) \neq 0$，否则变换不是一一对应的。

已知条件为：$f[x g(y), y] = x + g(y)$。我们希望通过变量代换得到 $f(u,v)$ 的显式表达式。 令 $u = x g(y)$，$v = y$。则原等式变为： $$f(u, v) = x + g(v).$$ 现在需要将 $x$ 用 $u$ 和 $v$ 表示。由 $u = x g(v)$ 可得 $x = \frac{u}{g(v)}$（这里假设 $g(v) \neq 0$，题目中 $g(y)$ 是已知的可微函数，通常满足非零条件）。 代入上式： $$f(u, v) = \frac{u}{g(v)} + g(v).$$ 因此，$f(u,v)$ 的显式表达式为： $$f(u,v) = \frac{u}{g(v)} + g(v).$$ 这个表达式将 $f$ 表示为两个变量 $u$ 和 $v$ 的函数，其中 $g(v)$ 是已知函数。后续步骤将利用此表达式进行偏导数的计算。

本步骤的目标是求函数 $f(u,v)$ 关于 $u$ 的一阶偏导数。已知 $f(u,v) = \frac{u}{g(v)}$，其中 $g(v)$ 是仅依赖于 $v$ 的函数，与 $u$ 无关。求偏导时，将 $v$ 视为常数，对 $u$ 求导。根据常数倍函数的求导法则，若 $c$ 为常数，则 $\frac{\partial}{\partial u}(c \cdot u) = c$。此处 $c = \frac{1}{g(v)}$，因此： $$\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}\left( \frac{u}{g(v)} \right) = \frac{1}{g(v)} \cdot \frac{\partial u}{\partial u} = \frac{1}{g(v)} \cdot 1 = \frac{1}{g(v)}.$$ 注意，这里 $g(v)$ 是 $v$ 的函数，但在对 $u$ 求偏导时，$v$ 被固定，所以 $g(v)$ 视为常数。因此结果中仍保留 $g(v)$ 的形式。此结果将用于后续步骤中计算全微分或高阶偏导。

本步骤的目标是计算二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$。由前一步骤已知一阶偏导 $\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{g(v)}$，其中 $g(v)$ 是仅关于 $v$ 的函数。对 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 关于 $v$ 求偏导时，由于 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 本身不显含 $u$，因此直接对 $v$ 求导即可。 具体计算如下： $$\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{1}{g(v)} \right) = \frac{\partial}{\partial v} \left( [g(v)]^{-1} \right) = -[g(v)]^{-2} \cdot g'(v) = -\frac{g'(v)}{g^2(v)}.$$ 这里 $g'(v)$ 表示 $g(v)$ 对 $v$ 的一阶导数。注意，由于原函数 $f(u,v)$ 满足混合偏导与求导次序无关的条件（二阶连续可微），因此 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u}$，但本题仅要求计算 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$ 这一顺序。 最终答案： $$\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = -\frac{g'(v)}{g^2(v)}.$$ 验证：若 $g(v)$ 为具体函数，例如 $g(v)=v$，则 $\frac{\partial f}{\partial u}=1/v$，$\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = -1/v^2$，与公式 $-g'(v)/g^2(v) = -1/v^2$ 一致。