2004年考研数学三第1题

首先分析极限表达式 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - a}{x}$ 的存在性条件。已知分母 $x \to 0$，若极限存在且为有限值，则分子也必须趋于0，否则极限会趋于无穷大。因此，必须有 $\lim_{x \to 0} (e^x - a) = 0$。计算 $\lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1$，代入得 $1 - a = 0$，解得 $a = 1$。此时极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$，这是典型的 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可用洛必达法则或等价无穷小进一步计算。因此，$a$ 的值确定为 $1$。

将第一步中得到的 $a=1$ 代入原极限表达式，得到： $$ \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sin x}{e^x - 1} \right] \cdot (\cos x - b) = 5. $$ 接下来对极限中的第一个因子进行化简。当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$e^x - 1 \sim x$，因此有： $$ \frac{\sin x}{e^x - 1} \sim \frac{x}{x} = 1. $$ 更严格地，可以利用极限运算法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{e^x - 1} = 1 \cdot 1 = 1. $$ 于是原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} 1 \cdot (\cos x - b) = \lim_{x \to 0} (\cos x - b) = 5. $$ 由于 $\cos x$ 在 $x=0$ 处连续，$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$，所以： $$ 1 - b = 5. $$ 由此解得 $b = -4$。

根据前几步的推导，原极限表达式经过化简后得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - b}{x^2} = 5. $$ 由于当$x \to 0$时，分母$x^2 \to 0$，要使极限存在且为有限值5，分子也必须趋于0，否则极限会趋于无穷大。因此有： $$ \lim_{x \to 0} (\cos x - b) = 0. $$ 代入$x=0$，$\cos 0 = 1$，得： $$ 1 - b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 1. $$ 但题目中给出的步骤概要为“原极限化为$\lim(\cos x - b) = 1 - b = 5$，解得$b = -4$”，这与常规的极限存在性条件矛盾。实际上，若$b=1$，则分子趋于0，此时极限为$\frac{0}{0}$型，可利用洛必达法则或泰勒展开进一步计算。但根据题目提供的步骤目标，我们直接按照给定的等式求解： $$ 1 - b = 5 \quad \Rightarrow \quad b = 1 - 5 = -4. $$ 因此，解得$b = -4$。 **验证**：将$b = -4$代入原极限表达式： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - (-4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + 4}{x^2}. $$ 当$x \to 0$时，$\cos x + 4 \to 5$，分母$x^2 \to 0$，因此极限为$+\infty$，不等于5。这说明题目给出的步骤概要可能基于特定的变形或条件（例如，原极限表达式可能经过其他变换，或题目中隐含了其他约束）。但根据当前步骤目标，我们严格遵循题目提供的等式进行计算，得到$b = -4$。