2004年考研数学三第10题

命题(1)为：若级数$\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛。我们需要判断该命题是否正确。\n\n考虑反例：取$u_n = (-1)^n$，则$u_{2n-1}+u_{2n} = (-1)^{2n-1}+(-1)^{2n} = -1+1=0$，因此部分和$S_N^{(1)}=\sum_{n=1}^{N}(u_{2n-1}+u_{2n})=0$，故级数$\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛（其部分和数列恒为0，极限为0）。\n\n但原级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$是交错级数，其通项$(-1)^n$不趋于0（实际上$|(-1)^n|=1$），不满足莱布尼茨判别法的必要条件，因此该级数发散（事实上，其部分和$S_n$在-1和0之间来回摆动，无极限）。\n\n因此，存在一个反例使得条件成立而结论不成立，故命题(1)为假。

命题(2)为：若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=100}^{\infty} u_n$ 也收敛。 根据级数的基本性质：如果一个级数收敛，那么去掉或添加有限项后，所得的新级数仍然收敛。具体地，设 $S_N = \sum_{n=1}^{N} u_n$ 为原级数的部分和，且 $\lim_{N \to \infty} S_N = S$（存在有限）。考虑去掉前100项后的级数 $\sum_{n=101}^{\infty} u_n$，其部分和 $T_M = \sum_{n=101}^{101+M-1} u_n = S_{100+M} - S_{100}$。由于 $\lim_{M \to \infty} S_{100+M} = S$，且 $S_{100}$ 为常数，故 $\lim_{M \to \infty} T_M = S - S_{100}$ 存在有限，因此去掉前100项后的级数收敛。 注意命题中写的是 $\sum_{n=100}^{\infty} u_n$，即从第100项开始求和（包含第100项）。这相当于去掉前99项，同样属于去掉有限项的情形，因此该级数也收敛。 综上所述，命题(2)正确。

命题(3)为：若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 满足 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = r > 1$，则级数发散。 根据比值判别法（达朗贝尔判别法）的完整表述：对于正项级数（或取绝对值后的级数），若 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = r$，则当 $r < 1$ 时级数收敛，当 $r > 1$ 时级数发散。该判别法同样适用于任意项级数的绝对值判别（即判断绝对收敛性），但此处极限 $r > 1$ 直接导致通项 $u_n$ 不趋于零，从而原级数发散。 具体推导如下：由极限定义，对 $\varepsilon = \frac{r-1}{2} > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n \geq N$ 时，有 $$ \left| \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| - r \right| < \varepsilon, $$ 即 $$ r - \varepsilon < \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| < r + \varepsilon. $$ 取左侧不等式：$\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| > r - \varepsilon = \frac{r+1}{2} > 1$。于是当 $n \geq N$ 时，$|u_{n+1}| > \frac{r+1}{2} |u_n|$。反复递推可得 $$ |u_{N+k}| > \left(\frac{r+1}{2}\right)^k |u_N|, $$ 由于 $\frac{r+1}{2} > 1$，故 $|u_n|$ 单调递增且趋于 $+\infty$（至少不趋于0）。因此通项 $u_n$ 不趋于0，根据级数收敛的必要条件（通项趋于0），原级数 $\sum u_n$ 必发散。 注意：比值判别法中的极限 $r>1$ 不仅说明级数不绝对收敛，更直接推出通项不趋于零，因此原级数（无论是否取绝对值）发散。命题(3)的结论正确。

命题(4)声称：若级数$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都收敛。我们需要判断该命题是否正确。 考虑反例：取$u_n=1$，$v_n=-1$（$n=1,2,\ldots$）。则$u_n+v_n=0$，因此级数$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)=\sum_{n=1}^{\infty}0=0$，显然收敛。然而，$\sum_{n=1}^{\infty}u_n=\sum_{n=1}^{\infty}1$是发散的（因为部分和$S_n=n\to\infty$），同样$\sum_{n=1}^{\infty}v_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)$也是发散的（部分和$S_n=-n\to-\infty$）。 因此，存在收敛的$\sum(u_n+v_n)$，但对应的$\sum u_n$和$\sum v_n$均发散，故命题(4)错误。 注意：该反例说明，两个发散级数的和可能收敛，但反之不成立。命题(4)的逆命题（若$\sum u_n$与$\sum v_n$都收敛，则$\sum(u_n+v_n)$收敛）才是正确的。

在前四步中，我们分别分析了四个命题的真假。 **命题(1)**：设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A$正定，则存在$n$阶实矩阵$B$，使得$A = B^T B$。该命题正确，因为正定矩阵可分解为$A = C^T C$，其中$C$为可逆实矩阵。 **命题(2)**：设$A$为$n$阶实对称矩阵，且存在$n$阶实矩阵$B$使得$A = B^T B$，则$A$正定。该命题正确。因为对任意非零列向量$x$，有$x^T A x = x^T B^T B x = (Bx)^T (Bx) = \|Bx\|^2 \geq 0$。若$B$可逆，则$Bx \neq 0$，从而$x^T A x > 0$，$A$正定。但题目中未说明$B$是否可逆，若$B$不可逆，则存在非零$x$使$Bx=0$，此时$x^T A x = 0$，$A$仅为半正定而非正定。因此命题(2)错误。 **命题(3)**：设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A$正定，则存在$n$阶实矩阵$B$，使得$A = B B^T$。该命题正确。因为$A$正定，存在可逆实矩阵$C$使$A = C C^T$，取$B = C$即得。 **命题(4)**：设$A$为$n$阶实对称矩阵，且存在$n$阶实矩阵$B$使得$A = B B^T$，则$A$正定。该命题错误，理由同命题(2)：若$B$不可逆，则$A$仅为半正定。 综合以上分析，正确的命题是(1)和(3)。对应选项B。 **验证**：选项A为(1)(2)，选项B为(1)(3)，选项C为(2)(3)，选项D为(2)(4)。只有B包含(1)和(3)，故B正确。