💡 答案解析
**答案**: （D）．
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**解析**:
$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$ ，由极限保号性，存在 $\delta_{1}\gt 0$ ，当 $x \in\left(a, a+\delta_{1}\right)$ 时， $\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$ ，从而 $f(x)\gt f(a)$ ，于是存在 $x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)\gt f(a)$ ； $f^{\prime}(b)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow b} \displaystyle\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\lt 0$ ，由极限保号性，存在 $\delta_{2}\gt 0$ ，当 $x \in\left(b-\delta_{2}, b\right)$ 时， $\displaystyle\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\lt 0$ ，从而 $f(x)\gt f(b)$ ，于是存在 $x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)\gt f(b)$ ，则（A），（B）正确；
因为 $f^{\prime}(x)$ 连续且 $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)\lt 0$ ，所以由零点定理，存在 $x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则（C）正确，应选（D）。
方法点评 ：本题考查极限保号性与零点定理。
关于函数在一点导数的符号有如下结论：
📋 详细解题步骤
目标：分析选项(A)的正确性
选项(A)的表述为：若$f'(a)>0$，则存在$x_0\in(a,b)$使得$f(x_0)>f(a)$。
首先，由导数的定义：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。已知$f'(a)>0$，根据极限的保号性，存在一个$δ>0$，使得当$0<|x-a|<δ$时，有$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$。
特别地，考虑$x$在$a$的右侧邻域内，即$x\in(a,a+δ)$，此时$x-a>0$，由$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$可得$f(x)-f(a)>0$，即$f(x)>f(a)$。
因此，在区间$(a,a+δ)$内任意取一点$x_0$（例如$x_0=a+\frac{δ}{2}$），都有$f(x_0)>f(a)$。由于$(a,a+δ)\subset(a,b)$（取$δ$足够小使得$a+δf(a)$。
所以选项(A)正确。
公式：$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$$
提示：利用导数定义和极限保号性，仅需考虑右侧邻域即可。
目标：分析选项(B)的正确性
选项(B)的表述为：存在$x_0 \in (a, b)$，使得$f(x_0) > f(b)$。
已知条件：$f(x)$在$[a, b]$上可导，且$f'(b) < 0$。
由导数的定义：
$$f'(b) = \lim_{x \to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x - b} < 0.$$
根据极限的保号性，存在一个$delta > 0$，使得当$x \in (b - delta, b)$时，有
$$\frac{f(x) - f(b)}{x - b} < 0.$$
由于$x < b$，分母$x - b < 0$，因此分子$f(x) - f(b)$必须大于0（因为负数除以负数得正数，但这里商为负，所以分子应为正），即
$$f(x) - f(b) > 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) > f(b).$$
这意味着在$b$的左侧邻域$(b - delta, b)$内，任意一点$x$都满足$f(x) > f(b)$。特别地，取$x_0 = b - \frac{delta}{2}$，则$x_0 \in (a, b)$（因为$delta$足够小，且$a < b$），且$f(x_0) > f(b)$。
因此，存在$x_0 \in (a, b)$使得$f(x_0) > f(b)$，选项(B)正确。
注意：这里并未用到$f'(a) > 0$的条件，仅由$f'(b) < 0$即可推出结论。
公式：$$f'(b) = \lim_{x \to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x - b} < 0 \quad \Rightarrow \quad \exists \delta>0,\ \forall x \in (b-\delta,b):\ f(x) > f(b)$$
提示：利用导数定义和极限保号性，注意分母符号对不等式方向的影响。
目标：分析选项(C)的正确性
选项(C)的表述为：若$f'(x)$在$[a,b]$上连续，且$f'(a)>0$，$f'(b)<0$，则存在$x_0\in(a,b)$使得$f'(x_0)=0$。
首先，题目条件已明确$f'(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。根据连续函数的零点定理（介值定理的推论）：若函数$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$g(a)$与$g(b)$异号，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$使得$g(\xi)=0$。
这里令$g(x)=f'(x)$，则$g(x)$在$[a,b]$上连续。已知$g(a)=f'(a)>0$，$g(b)=f'(b)<0$，即$g(a)$与$g(b)$异号。因此，由零点定理，存在$x_0\in(a,b)$使得$g(x_0)=f'(x_0)=0$。
该结论与选项(C)完全一致，故选项(C)正确。
注意：零点定理的应用前提是函数在闭区间上连续，且端点函数值异号。本题中$f'(x)$的连续性已由条件保证，$f'(a)>0$与$f'(b)<0$满足异号条件，因此推理严谨无误。
公式：零点定理：若$g(x)\in C[a,b]$且$g(a)\cdot g(b)<0$，则$\exists\xi\in(a,b)$使$g(\xi)=0$
提示：零点定理只要求连续和端点异号，不要求单调性，直接应用即可。