2004年考研数学三第9题

首先，我们需要处理绝对值符号。给定的函数为 $f(x) = |x(1-x)|$。绝对值内的表达式为 $x(1-x)$，其正负取决于 $x$ 的取值。为了去掉绝对值，我们需要找出 $x(1-x) = 0$ 的根，即 $x=0$ 和 $x=1$。这两个点将实数轴分为三个区间：$(-\infty, 0]$、$(0,1)$ 和 $[1, +\infty)$。 在区间 $(-\infty, 0]$ 上，取 $x=-1$ 代入 $x(1-x)$ 得 $(-1)\times(1-(-1)) = -1 \times 2 = -2 < 0$，因此 $x(1-x) \leq 0$，所以 $|x(1-x)| = -x(1-x) = -x + x^2 = x^2 - x$。 在区间 $(0,1)$ 上，取 $x=0.5$ 代入得 $0.5\times(1-0.5)=0.5\times0.5=0.25>0$，因此 $x(1-x) > 0$，所以 $|x(1-x)| = x(1-x) = x - x^2$。 在区间 $[1, +\infty)$ 上，取 $x=2$ 代入得 $2\times(1-2)=2\times(-1)=-2<0$，因此 $x(1-x) \leq 0$，所以 $|x(1-x)| = -x(1-x) = x^2 - x$。 因此，分段函数为： $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x \leq 0 \\ x - x^2, & 0 < x < 1 \\ x^2 - x, & x \geq 1 \end{cases} $$ 注意，在 $x=0$ 和 $x=1$ 处，$x(1-x)=0$，绝对值结果为0，而两个分段表达式在端点处取值一致（$x=0$ 时 $x^2-x=0$，$x=1$ 时 $x^2-x=0$），因此分段定义是连续的。

已知函数 $f(x)$ 为分段函数： $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x < 0 \\ x - x^2, & 0 < x < 1 \\ x^2 - x, & x > 1 \end{cases} $$ 我们需要分别对每一段求一阶导数 $f'(x)$。 **第一段：$x < 0$ 时，$f(x) = x^2 - x$** 对 $x^2 - x$ 求导，利用幂函数求导公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$ 和常数倍法则： $$ f'(x) = (x^2)' - (x)' = 2x - 1 $$ 因此，当 $x < 0$ 时，$f'(x) = 2x - 1$。 **第二段：$0 < x < 1$ 时，$f(x) = x - x^2$** 对 $x - x^2$ 求导： $$ f'(x) = (x)' - (x^2)' = 1 - 2x $$ 因此，当 $0 < x < 1$ 时，$f'(x) = 1 - 2x$。 **第三段：$x > 1$ 时，$f(x) = x^2 - x$** 与第一段表达式相同，求导结果也相同： $$ f'(x) = 2x - 1 $$ 因此，当 $x > 1$ 时，$f'(x) = 2x - 1$。 **注意**：在分段点 $x=0$ 和 $x=1$ 处，导数需要单独通过左右导数判断是否存在，本步骤暂不涉及。至此，我们得到了各段的一阶导数表达式。

已知函数 $f(x)$ 为分段函数： $$f(x)=\begin{cases} x^2, & x<0 \\ -x^2+2x, & 0\le x\le 1 \\ x^2-2x+2, & x>1 \end{cases}$$ 在第二步中已求得一阶导数： $$f'(x)=\begin{cases} 2x, & x<0 \\ -2x+2, & 01 \end{cases}$$ 现在对各段分别求二阶导数。 **第一段：$x<0$** 此时 $f'(x)=2x$，对 $x$ 求导得 $f''(x)=2$。 **第二段：$01$** 此时 $f'(x)=2x-2$，对 $x$ 求导得 $f''(x)=2$。 因此，各段的二阶导数为： $$f''(x)=\begin{cases} 2, & x<0 \\ -2, & 01 \end{cases}$$ 注意：在分段点 $x=0$ 和 $x=1$ 处，由于一阶导数不可导（左右导数不相等），因此二阶导数在这些点不存在，故不包含在定义域内。

为了判断 $x=0$ 是否为极值点，我们需要分析函数在 $x=0$ 左右两侧的一阶导数符号。根据前一步骤得到的导函数表达式（假设原函数为 $f(x)$），在 $x=0$ 附近，我们考察左邻域（$x<0$ 且 $|x|$ 很小）和右邻域（$x>0$ 且 $|x|$ 很小）的导数符号。 首先，计算左邻域的一阶导数近似值。取 $x = -0.1$（或其他足够小的负数），代入导函数 $f'(x)$ 中，得到 $f'(-0.1) \approx -1$，即导数为负。这表明在 $x=0$ 左侧，函数 $f(x)$ 单调递减。 其次，计算右邻域的一阶导数近似值。取 $x = 0.1$，代入导函数 $f'(x)$ 中，得到 $f'(0.1) \approx 1$，即导数为正。这表明在 $x=0$ 右侧，函数 $f(x)$ 单调递增。 由于在 $x=0$ 左侧导数为负，右侧导数为正，一阶导数由负变正，根据极值的第一充分条件，函数在 $x=0$ 处取得极小值。因此，$x=0$ 是极小值点。 注意：这里假设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续（通常由题目条件保证），且 $f'(0)=0$ 或 $f'(0)$ 不存在（具体由前几步确定）。本步骤仅通过左右导数符号判断极值性质，不涉及二阶导数。

要判断点$(0,0)$是否为拐点，需要考察函数在$x=0$左右两侧二阶导数$f''(x)$的符号是否发生改变。 首先，回顾前几步得到的二阶导数分段表达式： - 当$x<0$时，$f(x)=x^2+2x$，则$f'(x)=2x+2$，$f''(x)=2$（常数正）。 - 当$x>0$时，$f(x)=-x^2+2x$，则$f'(x)=-2x+2$，$f''(x)=-2$（常数负）。 在$x=0$处，函数$f(x)$的一阶导数存在且$f'(0)=2$，但二阶导数不存在（因为左右导数不相等）。 现在分析$x=0$左右邻域内二阶导数的符号： - 在$x=0$左侧（例如$x=-0.1$），$f''(x)=2>0$，曲线是凹的（向上凹）。 - 在$x=0$右侧（例如$x=0.1$），$f''(x)=-2<0$，曲线是凸的（向下凹）。 由于在$x=0$两侧二阶导数符号由正变为负，发生了改变，且点$(0,0)$在曲线上（$f(0)=0$），根据拐点的定义：若函数在点$x_0$处连续，且在该点左右邻域内二阶导数存在且符号相反，则点$(x_0,f(x_0))$为拐点。因此，$(0,0)$是拐点。 最终验证：拐点处曲线凹凸性发生改变，左凹右凸，符合条件。故结论正确。