2004年考研数学三第7题

首先，我们观察原函数 $f(x)=\frac{|x|\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$。注意到分子中含有绝对值 $|x|$，分母中含有 $x$，因此可以考虑将 $|x|$ 与 $x$ 进行约分。但需注意，$|x|$ 与 $x$ 的符号关系：当 $x>0$ 时，$|x|=x$，此时 $\frac{|x|}{x}=1$；当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，此时 $\frac{|x|}{x}=-1$。因此，直接约去 $|x|$ 与 $x$ 会引入符号变化，但题目要求化简后的表达式为 $|f(x)|=\left|\frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}\right|$，即考虑绝对值后的形式。为此，我们计算 $|f(x)|$： $$|f(x)| = \left|\frac{|x|\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}\right| = \frac{|x|}{|x|} \cdot \left|\frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}\right| = \left|\frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}\right|.$$ 这里利用了 $|x|$ 与 $x$ 的绝对值相等，即 $|x| = |x|$，且 $|x|/|x|=1$（当 $x\neq0$）。因此，在取绝对值后，分子中的 $|x|$ 与分母中的 $x$ 的绝对值相消，得到简化形式。注意，原函数 $f(x)$ 本身不能直接约去 $|x|$ 与 $x$，因为符号会不同，但 $|f(x)|$ 的表达式可以这样化简。

由于被积函数中含有因子 $\sin(x-2)$，而正弦函数具有有界性：对任意实数 $t$，有 $|\sin t| \leq 1$。因此，对于 $x \neq 1$ 且 $x \neq 2$ 的点，有 $$|f(x)| = \left| \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} \right| \leq \frac{|\sin(x-2)|}{|(x-1)(x-2)^2|} \leq \frac{1}{|(x-1)(x-2)^2|}.$$ 这样，我们就把原函数的绝对值放缩为一个不含三角函数的、更简单的有理函数形式。这个放缩在 $x \to 2$ 时仍然成立，因为 $\sin(x-2) \sim x-2$，但这里我们只关心绝对值上界，所以直接使用 $|\sin| \leq 1$ 是合理的。注意，当 $x=2$ 时，原函数分母为零，但积分考虑的是瑕点附近的行为，放缩式在 $x \neq 2$ 处成立，不影响瑕积分敛散性的判断。

我们需要分析函数 $f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)^2}$ 在区间 $(-1,0)$、$(0,1)$、$(1,2)$、$(2,3)$ 内分母是否为零，从而判断函数的有界性。 首先，分母为 $(x-1)(x-2)^2$。令分母为零，解得 $x=1$ 或 $x=2$。因此，在区间 $(-1,0)$ 内，$x$ 既不等于 $1$ 也不等于 $2$，故分母不为零。进一步分析符号：在 $(-1,0)$ 上，$x-1<0$，$(x-2)^2>0$，所以分母 $(x-1)(x-2)^2<0$，即分母恒负。由于区间是闭区间 $[-1,0]$ 的子区间，分母连续且不为零，故存在正下界 $\delta>0$ 使得 $|(x-1)(x-2)^2|\geq\delta$，从而 $|f(x)|\leq\frac{1}{\delta}$，函数有界。 其次，在区间 $(0,1)$ 内，$x=1$ 是分母的零点。当 $x\to1^-$ 时，$x-1\to0^-$，$(x-2)^2\to1$，因此分母趋于 $0$，函数值 $|f(x)|\to+\infty$，故函数在 $(0,1)$ 内无界。 再次，在区间 $(1,2)$ 内，$x=1$ 和 $x=2$ 都是分母的零点。当 $x\to1^+$ 时，$x-1\to0^+$，$(x-2)^2\to1$，分母趋于 $0$，$|f(x)|\to+\infty$；当 $x\to2^-$ 时，$x-1\to1$，$(x-2)^2\to0^+$，分母趋于 $0$，$|f(x)|\to+\infty$。因此函数在 $(1,2)$ 内无界。 最后，在区间 $(2,3)$ 内，$x=2$ 是分母的零点。当 $x\to2^+$ 时，$x-1\to1$，$(x-2)^2\to0^+$，分母趋于 $0$，$|f(x)|\to+\infty$，故函数在 $(2,3)$ 内无界。 综上所述，只有区间 $(-1,0)$ 内分母不为零且恒负，函数有界；其余三个区间均包含分母零点，函数无界。