2004年考研数学三第13题

已知非齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有 4 个互不相等的解，记作 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}_3,\boldsymbol{\eta}_4$。对于任意两个解 $\boldsymbol{\eta}_i,\boldsymbol{\eta}_j$，其差 $\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\eta}_j$ 是对应齐次方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解。因此，由 4 个互不相等的非齐次解可以得到多个齐次解向量。特别地，取 $\boldsymbol{\xi}_1=\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1$，$\boldsymbol{\xi}_2=\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_1$，$\boldsymbol{\xi}_3=\boldsymbol{\eta}_4-\boldsymbol{\eta}_1$，则 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$ 都是齐次解。由于 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}_3,\boldsymbol{\eta}_4$ 互不相等，故 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$ 均非零。但 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$ 不一定线性无关，例如它们可能线性相关。然而，题目还给出条件“伴随矩阵 $A^* \neq O$”，即 $A^*$ 非零矩阵。由线性代数知识，$A^* \neq O$ 意味着 $\mathrm{rank}(A) \geq n-1$（此处 $n$ 为未知数个数）。由于方程组有解且解不唯一（有 4 个不同解），故 $\mathrm{rank}(A) < n$，从而 $\mathrm{rank}(A) = n-1$。此时齐次解空间 $\mathrm{Null}(A)$ 的维数为 $n - \mathrm{rank}(A) = 1$。因此，齐次解空间是一维的，所有齐次解都是某个非零向量的倍数。由此可知，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$ 中任意两个线性相关，即它们共线。于是，非齐次解 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}_3,\boldsymbol{\eta}_4$ 位于一条直线上（在仿射空间中）。这一结论为下一步确定具体解的形式奠定了基础。

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$A^* \neq O$，且非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的解不唯一（至少存在4个不同的解）。 首先，由 $A^* \neq O$ 可知，$A$ 的秩 $r(A)$ 满足 $r(A) \geq n-1$。这是因为对于 $n$ 阶矩阵，若 $r(A) \leq n-2$，则所有 $n-1$ 阶子式均为零，从而 $A^* = O$，与已知矛盾。 其次，非齐次方程组 $Ax = b$ 的解不唯一，意味着 $Ax = b$ 有无穷多解，从而系数矩阵 $A$ 的秩小于增广矩阵 $(A \mid b)$ 的秩，且 $r(A) < n$（否则若 $r(A) = n$，则 $Ax = b$ 有唯一解）。因此 $r(A) \leq n-1$。 综合以上两点，得到 $r(A) = n-1$。 对于齐次线性方程组 $Ax = 0$，其基础解系所含向量个数为 $n - r(A) = n - (n-1) = 1$。即齐次方程组的基础解系只包含一个向量（非零解向量）。 因此，非齐次方程组的任意两个不同解之差即为齐次方程组的一个非零解，所有解可表示为 $x = x_0 + k \cdot \xi$，其中 $x_0$ 为一个特解，$\xi$ 为基础解系向量，$k$ 为任意常数。