2004年考研数学三第14题
📝 题目
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0\lt\alpha\lt 1)$ ，数 $u_{\alpha}$ 满足 $P\left\{X\gt u_{\alpha}\right\}=\alpha$ 。若 $P\{|X|\lt x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于（ ）
A
$u_{\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$ ．
B
$u_{1-\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$ ．
C
$u_{\displaystyle \frac{1-\alpha}{2}}$ ．
D
$u_{1-\alpha}$ ．
💡 答案解析
**答案**: （C）。
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**解析**:
由 $P\{|X|\lt x\}=1-P\{|X|\gt x\}=1-2 P\{X\gt x\}=\alpha$ ，得 $P\{X \geqslant x\}=\displaystyle\frac{1-\alpha}{2}$ ． 再由 $P\left\{X\gt u_{\alpha}\right}=\alpha$ ，得 $x=u_{\displaystyle\frac{1-\alpha}{2}}$ ，应选（C）。
## 三、解答题
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将条件P{|X|
已知随机变量$X$服从标准正态分布$N(0,1)$，其概率密度函数关于$y$轴对称。条件为$P\{|X|0$。
首先，根据绝对值的定义，事件$\{|X|
公式：$$P\{|X|
提示：利用对称性$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$将概率转化为$2\Phi(x)-1$是关键。
步骤 2/2
目标：用上侧分位数u_α表示x
已知随机变量$X \sim N(0,1)$，其分布函数为$\Phi(x)$。由步骤1已得$\Phi(x) = \frac{1+\alpha}{2}$。
现在需要将$x$用上侧分位数$u_\alpha$表示。上侧分位数$u_\alpha$定义为满足$P\{X > u_\alpha\} = \alpha$的数，即$\Phi(u_\alpha) = 1-\alpha$。
由$\Phi(x) = \frac{1+\alpha}{2}$，令$\alpha' = 1 - \Phi(x)$，则
$$
\alpha' = 1 - \frac{1+\alpha}{2} = \frac{2 - (1+\alpha)}{2} = \frac{1-\alpha}{2}.
$$
因此，$\Phi(x) = 1 - \alpha'$，其中$\alpha' = \frac{1-\alpha}{2}$。根据上侧分位数的定义，$x$就是上侧分位数$u_{\alpha'}$，即
$$
x = u_{\frac{1-\alpha}{2}}.
$$
对照选项，选项C为$u_{\frac{1-\alpha}{2}}$，故正确答案为C。
验证：当$\alpha=0.05$时，$x = u_{0.475}$，查标准正态分布表可知$u_{0.475} \approx 1.96$，而$\Phi(1.96) = 0.975 = \frac{1+0.95}{2}$，满足条件，结果正确。
公式：$$x = u_{\frac{1-\alpha}{2}}$$
提示：牢记上侧分位数定义：$\Phi(u_\alpha)=1-\alpha$，通过代数变形将$\Phi(x)$化为$1-\alpha'$形式。
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