💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）当 $\alpha=1$ 时，随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
\begin{gathered}
f(x ; \beta)= $\begin{cases}\beta x^{-\beta-1}, & x\gt 1 \\
0, & x \leqslant 1\end{cases} \\
E(X)=\int_{1}^{+\infty} x f(x, \beta) \mathrm{d} x=\beta \int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} \mathrm{d} x=\frac{\beta}{\beta-1},
\end{gathered}
$$
令 $E(X)=\bar{X}$ ，则 $\beta$ 的矩估计量为 $\hat{\beta}=\displaystyle\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$ ．
（II）当 $\alpha=1$ 时，似然函数为
$$
L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} ; \beta\right)=f\left(x_{1} ; \beta\right) f\left(x_{2} ; \beta\right) \cdots f\left(x_{n} ; \beta\right)=\beta^{n}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{-\beta-1},
$$
其中 $x_{i}\gt 1(i=1,2, \cdots, n)$ ，
取对数得 $\ln L=n \ln \beta-(\beta+1) \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}$ ，
由 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \ln L=\displaystyle\frac{n}{\beta}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}=0$ ，得 $\beta$ 的最大似然估计值为 $\hat{\beta}=\displaystyle\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}}$ ，
$\beta$ 的最大似然估计量为 $\hat{\beta}=\displaystyle\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln X_{i}}$ ．
（III）当 $\beta=2$ 时，$X$ 的密度函数为
$$
f(x ; \alpha)= $\begin{cases}2 \alpha^{2} x^{-3}, & x\gt \alpha, \\ 0, & x \leqslant \alpha,\end{cases}
$$
似然函数为
$$
L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} ; \alpha\right)=f\left(x_{1} ; \alpha\right) f\left(x_{2} ; \alpha\right) \cdots f\left(x_{n} ; \alpha\right)=2^{n} \alpha^{2 n}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{-3},
$$
其中 $x_{i}\gt \alpha(i=1,2, \cdots, n)$ ．
取对数得 $\ln L=n \ln 2+2 n \ln \alpha-3 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}$ ，
因为 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha} \ln L=\displaystyle\frac{2 n}{\alpha}\gt 0$ ，即 $L$ 为 $\alpha$ 的增函数，所以 $\alpha$ 的最大似然估计值为 $\hat{\alpha}=\min _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{x_{i}\right\}$ ，最大似然估计量为 $\hat{\alpha}=\min _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{X_{i}\right\}$ ．
📋 详细解题步骤
目标：求密度函数
已知分布函数为 $F(x;\alpha,\beta)$，我们需要通过对其求导得到概率密度函数 $f(x;\alpha,\beta)$。根据概率论，连续型随机变量的密度函数是分布函数的导数，即 $f(x) = \frac{d}{dx}F(x)$。
题目中给出的分布函数形式为：
$$F(x;\alpha,\beta) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1 - \left(\frac{\alpha}{x}\right)^\beta, & x > \alpha \end{cases}$$
其中 $\alpha > 0$，$\beta > 0$。
当 $x \le \alpha$ 时，$F(x;\alpha,\beta)=0$，其导数为 $0$，因此 $f(x;\alpha,\beta)=0$。
当 $x > \alpha$ 时，对 $F(x;\alpha,\beta)=1 - \left(\frac{\alpha}{x}\right)^\beta$ 求导。首先将表达式改写为 $1 - \alpha^\beta x^{-\beta}$，然后对 $x$ 求导：
$$\frac{d}{dx}\left[1 - \alpha^\beta x^{-\beta}\right] = 0 - \alpha^\beta \cdot (-\beta) x^{-\beta-1} = \beta \alpha^\beta x^{-\beta-1}$$
因此，当 $x > \alpha$ 时，$f(x;\alpha,\beta) = \beta \alpha^\beta x^{-\beta-1}$。
综合起来，概率密度函数为：
$$f(x;\alpha,\beta) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ \beta \alpha^\beta x^{-\beta-1}, & x > \alpha \end{cases}$$
注意，该密度函数定义在 $(\alpha, +\infty)$ 上，且满足 $\int_{\alpha}^{+\infty} f(x;\alpha,\beta) dx = 1$，验证了其合理性。
公式：f(x;\alpha,\beta) = \beta \alpha^\beta x^{-\beta-1}, \quad x > \alpha
提示：求导时先将分式写成幂函数形式，再逐项求导，注意负指数的处理。
目标：（I）计算总体期望E(X)
当$\alpha=1$时，总体$X$的密度函数为：
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x \geq 1, \\
0, & x < 1.
\end{cases}
$$
其中$\beta>1$以保证积分收敛。总体期望$E(X)$定义为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx = \int_{1}^{+\infty} x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} \, dx.
$$
化简被积函数：
$$
x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} = \frac{\beta}{x^{\beta}} = \beta x^{-\beta}.
$$
因此：
$$
E(X) = \int_{1}^{+\infty} \beta x^{-\beta} \, dx = \beta \int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} \, dx.
$$
计算积分：
$$
\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} \, dx = \left[ \frac{x^{-\beta+1}}{-\beta+1} \right]_{1}^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} \frac{b^{1-\beta}}{1-\beta} - \frac{1^{1-\beta}}{1-\beta}.
$$
由于$\beta>1$，故$1-\beta<0$，当$b \to +\infty$时，$b^{1-\beta} \to 0$，所以：
$$
\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} \, dx = 0 - \frac{1}{1-\beta} = \frac{1}{\beta-1}.
$$
代入得：
$$
E(X) = \beta \cdot \frac{1}{\beta-1} = \frac{\beta}{\beta-1}.
$$
因此，当$\alpha=1$时，总体期望$E(X)=\frac{\beta}{\beta-1}$。
公式：$$E(X) = \frac{\beta}{\beta-1}$$
提示：注意β>1是积分收敛的前提，积分时先化简被积函数再计算。
目标：（I）建立矩估计方程并求解
根据矩估计法的基本思想，用样本均值估计总体均值。首先计算总体均值$E(X)$。已知总体$X$的概率密度函数为$f(x)=\beta x^{-(\beta+1)}$，$x>1$，$\beta>0$。总体均值$E(X)=\int_{1}^{+\infty} x \cdot \beta x^{-(\beta+1)} dx = \beta \int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} dx$。计算积分：$\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} dx = \left[ \frac{x^{-\beta+1}}{-\beta+1} \right]_{1}^{+\infty}$。当$\beta>1$时，$x^{-\beta+1}$在$x\to+\infty$时趋于0，故$\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} dx = \frac{1}{\beta-1}$。因此$E(X)=\beta \cdot \frac{1}{\beta-1} = \frac{\beta}{\beta-1}$，其中$\beta>1$。
令总体均值等于样本均值$\bar{X}$，即$\frac{\beta}{\beta-1} = \bar{X}$。解此方程求$\beta$：两边乘以$\beta-1$得$\beta = \bar{X}(\beta-1)$，展开得$\beta = \bar{X}\beta - \bar{X}$，移项得$\bar{X}\beta - \beta = \bar{X}$，即$\beta(\bar{X}-1)=\bar{X}$，所以$\beta = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$。因此$\beta$的矩估计量为$\hat{\beta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$。注意，由于$\beta>1$，要求$\bar{X}>1$，这在样本来自该分布时通常成立。
公式：$$\hat{\beta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$$
提示：矩估计的核心是令总体矩等于样本矩，注意积分收敛条件$\beta>1$。
目标：（II）构造似然函数
当 $\alpha=1$ 时，总体 $X$ 的密度函数为：
$$f(x;\beta)=\begin{cases}
\beta x^{-\beta-1}, & x>1, \\
0, & \text{其他}.
\end{cases}$$
设 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 为来自该总体的简单随机样本观测值，且满足 $x_i>1\ (i=1,2,\dots,n)$。由于样本独立同分布，样本的联合密度函数（即似然函数）为各观测值密度函数的乘积：
$$L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\beta)=\prod_{i=1}^{n}\left(\beta x_i^{-\beta-1}\right).$$
将乘积展开，常数因子 $\beta$ 连乘 $n$ 次得 $\beta^n$，而 $x_i^{-\beta-1}$ 的连乘可写为 $\prod_{i=1}^{n}x_i^{-\beta-1}=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{-\beta-1}$。因此似然函数化简为：
$$L(\beta)=\beta^n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{-\beta-1},\quad \beta>0.$$
该表达式即为参数 $\beta$ 的似然函数，是后续进行极大似然估计的基础。
公式：$$L(\beta)=\beta^n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{-\beta-1},\quad \beta>0.$$
提示：注意似然函数是样本观测值的函数，将 $\beta$ 视为变量，乘积运算要仔细。
目标：（II）取对数并求导
首先，对似然函数 $L(\beta) = \beta^n \prod_{i=1}^n x_i^{-(\beta+1)}$ 取自然对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\beta) = \ln\left(\beta^n \prod_{i=1}^n x_i^{-(\beta+1)}\right) = \ln(\beta^n) + \ln\left(\prod_{i=1}^n x_i^{-(\beta+1)}\right)
$$
利用对数运算法则，将乘积转化为求和：
$$
\ln L(\beta) = n\ln\beta + \sum_{i=1}^n \ln\left(x_i^{-(\beta+1)}\right) = n\ln\beta - (\beta+1)\sum_{i=1}^n \ln x_i
$$
接下来，对 $\beta$ 求导。注意 $\ln L(\beta)$ 是 $\beta$ 的函数，$\sum_{i=1}^n \ln x_i$ 是与 $\beta$ 无关的常数。逐项求导：
- 第一项 $n\ln\beta$ 的导数为 $\frac{n}{\beta}$；
- 第二项 $-(\beta+1)\sum_{i=1}^n \ln x_i$ 的导数为 $-\sum_{i=1}^n \ln x_i$。
因此，
$$
\frac{d\ln L(\beta)}{d\beta} = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i
$$
此导数即为对数似然函数关于参数 $\beta$ 的导数，用于下一步令其等于零以求解极大似然估计。
公式：\frac{d\ln L(\beta)}{d\beta} = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i
提示：求导前先将乘积展开为和，再逐项求导，可避免复合函数求导的繁琐。
目标：（II）令导数为零解出β
由第5步得到的对数似然函数对$\beta$的导数：
$$
\frac{d\ln L}{d\beta} = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i
$$
令导数为零，即
$$
\frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0
$$
移项得
$$
\frac{n}{\beta} = \sum_{i=1}^n \ln x_i
$$
两边取倒数，解得
$$
\beta = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}
$$
因此，$\beta$的最大似然估计量为
$$
\hat{\beta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}
$$
注意：这里要求所有$x_i > 0$且$\sum \ln x_i \neq 0$，以保证估计量有意义。
公式：\hat{\beta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}
提示：令导数为零后，直接移项并取倒数即可得到$\hat{\beta}$，注意分母不能为零。
目标：（III）写出β=2时的密度函数和似然函数
首先，根据题目已知的总体密度函数形式为 $f(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta\alpha^\beta}{x^{\beta+1}},\ x>\alpha$。当 $\beta=2$ 时，将 $\beta=2$ 代入该密度函数，得到：
$$f(x;\alpha)=\frac{2\alpha^2}{x^{3}},\ x>\alpha.$$
这就是 $\beta=2$ 时总体 $X$ 的概率密度函数。
接下来，基于该密度函数构造样本的似然函数。设 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，其观测值为 $x_1,x_2,\ldots,x_n$。由于样本独立同分布，联合密度函数（即似然函数）为各观测值密度函数的乘积：
$$L(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\frac{2\alpha^2}{x_i^{3}}.$$
将乘积展开，常数因子 $2$ 连乘 $n$ 次得 $2^n$，$\alpha^2$ 连乘 $n$ 次得 $\alpha^{2n}$，分母为各 $x_i^3$ 的乘积，即 $\prod_{i=1}^{n}x_i^{3}$。因此似然函数可写为：
$$L(\alpha)=2^n\alpha^{2n}\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{-3}.$$
注意，该似然函数仅在所有 $x_i>\alpha$ 时非零，即 $\alpha<\min\{x_1,\ldots,x_n\}$。在实际应用中，通常将 $\alpha$ 的定义域限制为 $0<\alpha<\min\{x_i\}$。
公式：f(x;\alpha)=\frac{2\alpha^2}{x^{3}},\ x>\alpha;\quad L(\alpha)=2^n\alpha^{2n}\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{-3}
提示：代入参数时注意指数变化，似然函数是密度函数的乘积，不要漏掉常数项。
目标：（III）分析似然函数单调性
由步骤（II）得到的似然函数为：
$$L(\alpha) = 2^n \alpha^{2n} \prod_{i=1}^{n} x_i^{-3}, \quad x_i > \alpha > 0.$$
为分析其单调性，首先对似然函数取自然对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\alpha) = n\ln 2 + 2n\ln \alpha - 3\sum_{i=1}^{n}\ln x_i.$$
将对数似然函数对参数$\alpha$求导，得：
$$\frac{d\ln L(\alpha)}{d\alpha} = \frac{2n}{\alpha}.$$
由于$n>0$且$\alpha>0$，故$\frac{2n}{\alpha}>0$恒成立。因此，对数似然函数$\ln L(\alpha)$关于$\alpha$单调递增，从而原似然函数$L(\alpha)$也是$\alpha$的严格增函数。这意味着，在$\alpha$的取值范围内，$\alpha$越大，似然函数值越大。
公式：$$\frac{d\ln L(\alpha)}{d\alpha} = \frac{2n}{\alpha} > 0$$
提示：注意似然函数定义域$\alpha>0$，导数恒正说明$L(\alpha)$是增函数。
目标：（III）确定α的最大似然估计量
由第（II）步得到的似然函数为：
$$L(\alpha) = \begin{cases} \dfrac{1}{(b-\alpha)^n}, & \alpha < x_i < b \ (i=1,2,\dots,n) \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
其中$b$为已知常数。为求$\alpha$的最大似然估计量，需在满足约束条件$\alpha < x_i$（对所有$i$）的前提下，使$L(\alpha)$达到最大。
由于$L(\alpha) = (b-\alpha)^{-n}$，且$b-\alpha > 0$，函数$(b-\alpha)^{-n}$关于$\alpha$是单调递增的（因为分母$b-\alpha$随$\alpha$增大而减小，从而整个分式增大）。因此，$L(\alpha)$随$\alpha$的增大而增大。
但$\alpha$不能任意大，必须满足$\alpha < x_i$对所有$i=1,2,\dots,n$成立，即$\alpha < \min\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$。在$\alpha$小于该最小值的范围内，$L(\alpha)$是$\alpha$的增函数，故最大值在$\alpha$尽可能大时取得，但$\alpha$不能等于或超过样本最小值，否则似然函数为零。因此，$\alpha$的最大似然估计值为样本最小值，即
$$\hat{\alpha} = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$$
最终答案验证：对于任意一组样本观测值，取$\hat{\alpha}$为样本最小值时，所有观测值均大于$\hat{\alpha}$，满足约束条件，且此时$L(\alpha)$达到可能的最大值。若取$\alpha$略大于样本最小值，则至少有一个观测值小于等于$\alpha$，导致似然函数为零，故$\hat{\alpha}$确实为最大似然估计量。
公式：$$\hat{\alpha} = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$$
提示：注意似然函数在定义域内单调递增，最大值在边界处取得，即样本最小值。