2005年考研数学三第11题

选项（A）的表述为：“若$f'(x)$在$(0,1)$内连续，则$f(x)$在$(0,1)$内有界”。我们需要判断该命题是否正确。 构造反例：考虑函数$f(x) = -\frac{1}{x}$，定义域为$(0,1)$。其导数为$f'(x) = \frac{1}{x^2}$。显然，$f'(x) = \frac{1}{x^2}$在$(0,1)$内是连续的（因为$x \neq 0$，且$\frac{1}{x^2}$为初等函数，在定义区间内连续）。然而，$f(x) = -\frac{1}{x}$在$(0,1)$内是无界的：当$x \to 0^+$时，$-\frac{1}{x} \to -\infty$，因此$f(x)$在$(0,1)$内无下界（也无上界）。 这个反例说明：即使$f'(x)$在开区间$(0,1)$内连续，$f(x)$仍然可能无界。因此选项（A）是错误的。 注意：该反例中$f(x)$在$(0,1)$内可导，且导函数连续，但$f(x)$本身无界。这揭示了“导函数连续”并不能保证原函数在开区间上有界，因为原函数可能在端点附近趋于无穷。

选项（B）的表述为：“若$f(x)$在$(a,b)$内连续，则$f(x)$在$(a,b)$内有界”。我们需要判断该命题是否正确。 考虑反例：取区间$(0,1)$，定义函数$f(x) = -\frac{1}{x}$。显然，$f(x)$在$(0,1)$内每一点都连续，因为$\frac{1}{x}$在$x\neq0$时连续，负号不影响连续性。但是，当$x\to0^+$时，$f(x) = -\frac{1}{x} \to -\infty$，因此$f(x)$在$(0,1)$内无下界（实际上也无上界，因为当$x\to1^-$时$f(x)\to -1$，但下界不存在）。更严格地说，对于任意大的正数$M$，取$x = \frac{1}{M+1}$，则$f(x) = -(M+1) < -M$，所以$f(x)$在$(0,1)$内无界。 因此，存在一个在开区间内连续但无界的函数，这说明“连续必有界”这一结论在开区间上不成立。选项（B）错误。 注意：闭区间上连续函数才有界（有界性定理），而开区间上连续函数可能无界，例如$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$上也无界。本反例中取负号是为了避免与其它选项混淆，但本质相同。

选项（D）的表述为：“若$f(x)$在$(a,b)$内有界，则$f'(x)$在$(a,b)$内有界”。我们需要判断这一命题是否正确。根据微积分的基本知识，函数的有界性并不能保证其导数的有界性。为了说明这一点，我们构造一个反例。 取区间$(0,1)$，考虑函数$f(x)=\sqrt{x}$。显然，$f(x)$在$(0,1)$内是连续的，并且由于$\sqrt{x}$在$(0,1)$上的取值范围是$(0,1)$，因此$f(x)$在$(0,1)$内有界（实际上$0

公式：$$f(x)=\sqrt{x},\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

提示：构造反例时，常用幂函数$f(x)=x^\alpha$（$0<\alpha<1$）在$(0,1)$上。