💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
由 $\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，得 $a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ ．
令 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=a$ ，
则
$$
|\boldsymbol{A}|=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}=a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+a_{13}^{2}=3 a^{2} \neq 0,
$$
由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$ 及 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$ ，得 $|\boldsymbol{A}| \cdot\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ ，即 $|\boldsymbol{A}|^{3}=|\boldsymbol{A}|^{2}$,
于是 $|\boldsymbol{A}|=1$ ，故 $a_{11}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，应选（A）．
📋 详细解题步骤
目标：建立元素与代数余子式的关系
已知条件为 $A^* = A^T$，其中 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵。根据伴随矩阵的定义，伴随矩阵 $A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于矩阵 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素的代数余子式，即 $(A^*)_{ij} = A_{ji}$，其中 $A_{ji}$ 表示元素 $a_{ji}$ 的代数余子式。另一方面，转置矩阵 $A^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于原矩阵 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素，即 $(A^T)_{ij} = a_{ji}$。由条件 $A^* = A^T$，可得对应位置元素相等：$(A^*)_{ij} = (A^T)_{ij}$，即 $A_{ji} = a_{ji}$ 对所有 $i,j = 1,2,3$ 成立。将下标重新标记，令 $i' = j$，$j' = i$，则得到 $a_{ij} = A_{ij}$ 对所有 $i,j = 1,2,3$ 成立。因此，矩阵 $A$ 的每个元素都等于其对应的代数余子式。这一关系是后续推导的基础。
公式：$$a_{ij} = A_{ij} \quad (i,j=1,2,3)$$
提示：注意伴随矩阵定义中下标顺序：$(A^*)_{ij}=A_{ji}$，再与转置对应。
目标：用已知条件表示行列式
已知三阶行列式$|A|$的第一行元素全部相等，设为$a_{11}=a_{12}=a_{13}=a$，且$a>0$。根据行列式按第一行展开的公式：
$$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$$
其中$A_{1j}$是元素$a_{1j}$的代数余子式。由题目条件，每个代数余子式恰好等于对应的元素，即$A_{1j}=a_{1j}=a$（$j=1,2,3$）。代入得：
$$|A| = a \cdot a + a \cdot a + a \cdot a = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$$
由于$a>0$，故$3a^2>0$，因此$|A| \neq 0$。这样我们就用已知条件将行列式表示成了$3a^2$的形式。
公式：|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2
提示：注意代数余子式包含符号，但本题中符号恰好为正，直接代入即可。
目标：利用矩阵乘积性质建立关于|A|的方程
已知矩阵 $A$ 满足 $A^* = A^T$，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵。根据矩阵乘积的基本性质，对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，有 $AA^* = |A|E$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。将已知条件 $A^* = A^T$ 代入该等式，得到 $AA^T = |A|E$。
接下来，对等式 $AA^T = |A|E$ 两边同时取行列式。左边是矩阵乘积的行列式，根据行列式的乘法性质，有 $|AA^T| = |A| \cdot |A^T|$。右边是数量矩阵 $|A|E$ 的行列式，由于 $|A|$ 是一个数，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，因此 $| |A|E | = |A|^n$。这里 $n$ 是矩阵 $A$ 的阶数，题目中未明确给出 $n$ 的具体数值，但根据后续推导中出现的 $|A|^3$ 可知 $n=3$，即 $A$ 是 3 阶方阵。所以右边行列式为 $|A|^3$。
于是得到方程 $|A| \cdot |A^T| = |A|^3$。又因为转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 $|A^T| = |A|$，代入上式得 $|A| \cdot |A| = |A|^3$，即 $|A|^2 = |A|^3$。
至此，我们建立了关于 $|A|$ 的方程 $|A|^2 = |A|^3$。
公式：$$AA^* = |A|E \quad \Rightarrow \quad AA^T = |A|E \quad \Rightarrow \quad |A||A^T| = |A|^3 \quad \Rightarrow \quad |A|^2 = |A|^3$$
提示：注意矩阵阶数 $n$ 的确定：由 $|A|^3$ 可知 $n=3$，这是解题的关键隐含条件。
目标：解出|A|的值
由前一步已知条件$|A| \neq 0$，且已推导出关系式$|A|^2 = |A|$。这是一个关于$|A|$的一元二次方程，移项得$|A|^2 - |A| = 0$，即$|A|(|A| - 1) = 0$。该方程的解为$|A| = 0$或$|A| = 1$。但题目已明确$|A| \neq 0$，故舍去$|A| = 0$，因此$|A| = 1$。
另一种推导方式：由$|A|^2 = |A|$，且$|A| \neq 0$，等式两边同时除以$|A|$（注意$|A|$是非零实数，除法合法），得到$|A| = 1$。此方法更为简洁，直接利用$|A| \neq 0$的条件消去因子。
因此，矩阵$A$的行列式值为$1$。
公式：$$|A|^2 = |A|, \quad |A| \neq 0 \Rightarrow |A| = 1$$
提示：利用$|A| \neq 0$直接两边除以$|A|$，避免解二次方程。
目标：求解a_{11}
由前一步已知行列式$|A| = 3a^2$，且题目条件给出$|A| = 1$。因此建立方程：
$$3a^2 = 1$$
两边同时除以3，得：
$$a^2 = \frac{1}{3}$$
由于题目中$a > 0$（通常矩阵元素为正数或根据题意），开平方取正根：
$$a = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
而$a_{11}$即为矩阵$A$中第一行第一列的元素，由矩阵定义知$a_{11} = a$，因此：
$$a_{11} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
验证：将$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$代入原行列式$|A| = 3a^2$，得$|A| = 3 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{3} = 1$，与条件一致，结果正确。
公式：$$a_{11} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
提示：注意题目中隐含的正数条件，开平方后只取正根，并记得有理化分母。