2005年考研数学三第13题

已知矩阵$A$有特征值$\lambda_1$和$\lambda_2$，且$\lambda_1 \neq \lambda_2$，对应的特征向量分别为$\alpha_1$和$\alpha_2$。根据特征向量的定义，有$A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1$，$A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2$。 我们需要判断$\alpha_1$与$\alpha_2$是否线性相关。假设存在常数$k_1, k_2$不全为零，使得$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$。用矩阵$A$左乘该等式两边，得到$k_1A\alpha_1 + k_2A\alpha_2 = 0$，即$k_1\lambda_1\alpha_1 + k_2\lambda_2\alpha_2 = 0$。 将原线性组合等式乘以$\lambda_1$得$k_1\lambda_1\alpha_1 + k_2\lambda_1\alpha_2 = 0$。两式相减，消去$k_1\lambda_1\alpha_1$项，得到$k_2(\lambda_2 - \lambda_1)\alpha_2 = 0$。由于$\lambda_2 \neq \lambda_1$且$\alpha_2 \neq 0$（特征向量非零），因此$k_2 = 0$。代入原式得$k_1\alpha_1 = 0$，又$\alpha_1 \neq 0$，故$k_1 = 0$。所以$k_1 = k_2 = 0$，即$\alpha_1$与$\alpha_2$线性无关。 因此，不同特征值对应的特征向量必然线性无关，这是线性代数中的一个基本结论。

已知$\alpha_1$和$\alpha_2$分别是矩阵$A$属于特征值$\lambda_1$和$\lambda_2$的特征向量，即满足： $$A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1, \quad A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2.$$ 现在需要计算$A(\alpha_1+\alpha_2)$。根据矩阵乘法的线性性质，有 $$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2.$$ 代入特征值定义，得到 $$A(\alpha_1+\alpha_2) = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2.$$ 因此，$A(\alpha_1+\alpha_2)$可以表示为特征向量$\alpha_1$和$\alpha_2$的线性组合，组合系数分别为$\lambda_1$和$\lambda_2$。这个表达式是后续步骤中判断$\alpha_1+\alpha_2$是否为特征向量的基础。

已知向量组为 $\alpha_1$ 和 $A(\alpha_1+\alpha_2)$，我们需要将其表示为矩阵乘积的形式。设 $\alpha_1, \alpha_2$ 是线性无关的列向量，$A$ 是一个线性变换（矩阵），且满足 $A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$，$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$（即 $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量，对应特征值 $\lambda_1, \lambda_2$）。 首先计算 $A(\alpha_1+\alpha_2)$： $$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2.$$ 于是向量组 $(\alpha_1, A(\alpha_1+\alpha_2))$ 可以写成： $$(\alpha_1, \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2).$$ 现在，我们想把这个向量组表示为矩阵 $B = (\alpha_1, \alpha_2)$ 与某个系数矩阵的乘积。设系数矩阵为 $C$，则应有： $$(\alpha_1, \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2) = (\alpha_1, \alpha_2) \cdot C.$$ 令 $C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则右边展开为： $$(\alpha_1, \alpha_2) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a\alpha_1 + c\alpha_2, \; b\alpha_1 + d\alpha_2).$$ 比较两边第一列：$a\alpha_1 + c\alpha_2 = \alpha_1$，由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，可得 $a=1, c=0$。 比较两边第二列：$b\alpha_1 + d\alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$，同样由线性无关性得 $b=\lambda_1, d=\lambda_2$。 因此系数矩阵为 $C = \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$。 于是向量组可表示为矩阵乘积形式： $$(\alpha_1, A(\alpha_1+\alpha_2)) = (\alpha_1, \alpha_2) \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}.$$

由题意，向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且 $\beta_1 = \alpha_1$，$\beta_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$。将 $\beta_1, \beta_2$ 用 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，得到关系式： $$ (\beta_1, \beta_2) = (\alpha_1, \alpha_2) \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}. $$ 记系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，它们构成一个基（或一个线性无关组），则向量组 $\beta_1, \beta_2$ 线性无关当且仅当系数矩阵 $A$ 可逆。这是因为线性无关的向量组经过一个可逆线性变换后仍保持线性无关；反之，若 $A$ 不可逆，则存在非零向量 $x$ 使得 $Ax=0$，从而 $\beta_1, \beta_2$ 的线性组合 $x_1\beta_1+x_2\beta_2 = (\alpha_1,\alpha_2)Ax = 0$ 有非零解，导致 $\beta_1,\beta_2$ 线性相关。 因此，问题转化为求 $\lambda_1, \lambda_2$ 使得矩阵 $A$ 可逆。矩阵 $A$ 可逆的充要条件是行列式 $\det(A) \neq 0$。计算行列式： $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \lambda_2 - \lambda_1 \cdot 0 = \lambda_2. $$ 所以 $\det(A) = \lambda_2$。要使 $A$ 可逆，必须 $\lambda_2 \neq 0$。注意，$\lambda_1$ 可以取任意实数，因为无论 $\lambda_1$ 为何值，只要 $\lambda_2 \neq 0$，矩阵 $A$ 就是上三角矩阵且主对角元均非零，从而可逆。 综上所述，向量组 $\beta_1, \beta_2$ 线性无关的充要条件是 $\lambda_2 \neq 0$，且 $\lambda_1$ 为任意实数。