2005年考研数学三第14题

本题为单个正态总体均值的假设检验问题，总体方差未知。设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 为待检验的均值，$\sigma^2$ 未知。从总体中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，样本均值为 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，样本方差为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，不能使用 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 作为检验统计量。根据数理统计理论，当 $\sigma^2$ 未知时，用样本标准差 $S$ 代替总体标准差 $\sigma$，构造统计量 $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$。可以证明，在 $H_0: \mu = \mu_0$ 成立的条件下，$T$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，即 $T \sim t(n-1)$。这是因为 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立，且 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，从而 $T = \frac{(\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{(n-1)S^2/\sigma^2/(n-1)}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。因此，本题应选用 $t$ 统计量，其分布为自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布。

本步骤的目标是根据给定的置信度 $1-\alpha=0.90$ 以及正态总体的性质，推导出总体均值 $\mu$ 的置信区间公式。 由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 代替总体标准差，并采用 $t$ 分布进行推断。构造统计量： $$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$$ 其中 $\bar{X}$ 为样本均值，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本容量，$t(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布。 对于置信度 $1-\alpha = 0.90$，即 $\alpha = 0.10$，则 $\alpha/2 = 0.05$。查 $t$ 分布表或利用统计软件可得临界值 $t_{\alpha/2}(n-1) = t_{0.05}(n-1)$。根据 $t$ 分布的性质，有： $$P\{-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)\} = 1-\alpha = 0.90$$ 将 $T$ 的表达式代入，得到： $$P\left\{-t_{\alpha/2}(n-1) < \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} < t_{\alpha/2}(n-1)\right\} = 0.90$$ 对不等式进行等价变形，首先乘以 $S/\sqrt{n}$（正数，不等号方向不变）： $$P\left\{-t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} < \bar{X} - \mu < t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\right\} = 0.90$$ 再移项，将 $\mu$ 单独放在中间： $$P\left\{\bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\right\} = 0.90$$ 因此，总体均值 $\mu$ 的置信度为 $90\%$ 的置信区间为： $$\left( \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot t_{\alpha/2}(n-1), \; \bar{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot t_{\alpha/2}(n-1) \right)$$ 该公式是 $t$ 分布下总体均值置信区间的标准形式，适用于小样本且总体方差未知的情形。在后续步骤中，我们将代入具体的样本数据计算区间端点。

已知样本容量 $n=16$，样本均值 $\bar{X}=20$，样本标准差 $S=1$。首先计算样本均值的标准误：$\frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$。置信水平为 $1-\alpha=0.90$，故显著性水平 $\alpha=0.10$，$\alpha/2=0.05$。由于总体方差未知，使用 $t$ 分布，自由度为 $n-1=15$。查 $t$ 分布表得 $t_{0.05}(15)=1.753$（常用值）。于是置信区间为： $$\left( \bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}},\; \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$$ 代入数值： $$\left( 20 - 1.753 \times \frac{1}{4},\; 20 + 1.753 \times \frac{1}{4} \right) = \left( 20 - 0.43825,\; 20 + 0.43825 \right) = (19.56175,\; 20.43825)$$ 因此，总体均值 $\mu$ 的90%置信区间约为 $(19.56,\; 20.44)$。

在前三步中，我们通过分析随机变量$X$和$Y$的联合分布、边缘分布以及协方差，最终推导出相关系数$\rho_{XY}$的表达式为$\rho_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}$。 现在，我们需要将这一结果与题目给出的四个选项进行逐一对比： - 选项A：$\frac{1}{4}$，与$\frac{3}{4}$不符。 - 选项B：$\frac{1}{3}$，与$\frac{3}{4}$不符。 - 选项C：$\frac{3}{4}$，与我们的计算结果完全一致。 - 选项D：$1$，与$\frac{3}{4}$不符。 因此，只有选项C的数值与推导结果吻合。为了进一步确认，我们可以进行快速验证：由协方差$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{1}{4}$，方差$D(X)=D(Y)=\frac{1}{3}$，代入相关系数公式得$\rho_{XY}=\frac{1/4}{\sqrt{1/3 \cdot 1/3}}=\frac{1/4}{1/3}=\frac{3}{4}$，无误。 最终答案选择C。