2005年考研数学三第1题

首先分析极限表达式中的无穷小量。当$x\to\infty$时，考虑分式$\frac{2x}{x^2+1}$的极限。分子$2x$是一次项，分母$x^2+1$是二次项，因此当$x\to\infty$时，分式的值趋于0。具体地，$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{x^2+1}=0.$$所以$\frac{2x}{x^2+1}$是一个无穷小量。由于正弦函数在自变量趋于0时，$\sin u \sim u$（$u\to0$），因此$\sin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$也是无穷小量，并且可以等价代换为$\frac{2x}{x^2+1}$。这一代换将简化后续极限的计算。注意，等价代换的前提是代换的量必须趋于0，这里完全满足条件。因此，在后续步骤中，我们可以将$\sin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$替换为$\frac{2x}{x^2+1}$进行计算。

在第一步中，我们已经将原极限转化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}{x} $$ 现在观察分子中的正弦函数，其自变量为 $\frac{2x}{x^2+1}$。当 $x \to 0$ 时，$\frac{2x}{x^2+1} \to 0$，因此这是一个无穷小量。根据等价无穷小代换公式：当 $u \to 0$ 时，$\sin u \sim u$。这里 $u = \frac{2x}{x^2+1}$，所以我们可以将分子中的 $\sin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$ 替换为 $\frac{2x}{x^2+1}$。注意，等价无穷小代换只能在乘除运算中使用，而此处分子恰好是乘积形式，因此代换是合法的。代换后，原极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{x^2+1}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(x^2+1)} $$ 进一步化简，分子分母同时约去 $x$（注意 $x \neq 0$ 但趋近于0），得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2}{x^2+1} $$ 至此，我们成功应用了等价无穷小代换，将原极限化简为一个可以直接代入求值的简单极限形式。

在第二步中，我们已将原极限转化为 $\lim\limits_{x \to \infty} x \cdot \frac{2x}{x^2+1}$。现在进行化简：首先将乘法合并，得到 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2+1}$。接下来，为了处理 $x \to \infty$ 时的极限，我们采用抓大头的方法，即分子分母同时除以 $x^2$（最高次项）： $$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2+1} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}}. $$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此分母趋于 $1$，整个分式趋于 $2$。所以化简后的极限值为 $2$。注意，这里化简的关键是将分子分母同除以 $x^2$，从而将无穷大转化为有限值。

本步骤的目标是计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2+1}$。首先，观察分子和分母的最高次项均为 $x^2$，因此我们采用分子分母同除以 $x^2$ 的方法来化简。 具体操作如下： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}}. $$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此分母 $1 + \frac{1}{x^2} \to 1$。于是极限值为： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2. $$ 最终答案为 $2$。验证：将 $x$ 取一个很大的数，例如 $x=1000$，则原式 $\frac{2 \times 1000^2}{1000^2+1} = \frac{2 \times 10^6}{10^6+1} \approx 1.999998$，非常接近 $2$，说明结果正确。