2005年考研数学三第2题

首先，我们观察给定的微分方程： $$x y' + y = 0$$ 这是一个一阶线性齐次微分方程。为了将其化为标准形式 $y' + P(x)y = 0$，我们需要将方程中的 $y'$ 项系数化为1。 当前方程中 $y'$ 的系数是 $x$（假设 $x \neq 0$），因此我们将方程两边同时除以 $x$： $$\frac{x y'}{x} + \frac{y}{x} = \frac{0}{x}$$ 化简得： $$y' + \frac{1}{x} y = 0$$ 此时，方程已经化为标准形式 $y' + P(x)y = 0$，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$。 注意：在除以 $x$ 时，我们隐含地假设了 $x \neq 0$。如果 $x = 0$ 是定义域内的点，需要单独考虑，但通常我们考虑 $x \neq 0$ 的区间。 至此，第一步完成，方程已化为标准形式。

在第一步中，我们已经将原微分方程整理为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$。现在进行分离变量操作，即将含有变量 $y$ 的项与含有变量 $x$ 的项分别放在等号两侧。具体做法是：将 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ 两边同时乘以 $dx$，得到 $dy = -\frac{y}{x} dx$。然后两边同时除以 $y$（假设 $y \neq 0$），得到 $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$。至此，变量已经成功分离：左边仅含 $y$ 和 $dy$，右边仅含 $x$ 和 $dx$。注意，在分离过程中，我们默认 $y \neq 0$，$x \neq 0$，这些特殊情况将在后续步骤中单独讨论。

对分离变量后的等式两边分别积分。左边是关于变量 $y$ 的积分，右边是关于变量 $x$ 的积分： $$ \int \frac{1}{y} \, dy = \int -\frac{1}{x} \, dx. $$ 计算左边积分：$\int \frac{1}{y} \, dy = \ln|y| + C_1$，其中 $C_1$ 为积分常数。 计算右边积分：$\int -\frac{1}{x} \, dx = -\ln|x| + C_2$，其中 $C_2$ 为积分常数。 将两个积分常数合并为一个任意常数 $C$（即令 $C = C_2 - C_1$），得到： $$ \ln|y| = -\ln|x| + C. $$ 利用对数性质 $-\ln|x| = \ln\frac{1}{|x|}$，可将结果写为： $$ \ln|y| = \ln\frac{1}{|x|} + C. $$ 此时，等式两边均为对数形式，为下一步去掉对数符号、解出 $y$ 做好准备。

在前一步中，我们已经将微分方程分离变量并积分得到 $\ln|y| = -\ln|x| + C_1$，其中 $C_1$ 为任意常数。接下来，我们利用对数的性质进行化简。首先，将等式右边合并为一个对数：$-\ln|x| + C_1 = \ln|x|^{-1} + C_1 = \ln\frac{1}{|x|} + C_1$。由于 $C_1$ 是任意常数，我们可以将其写成 $\ln C_2$ 的形式（其中 $C_2 > 0$），即令 $C_1 = \ln C_2$，则等式变为 $\ln|y| = \ln\frac{1}{|x|} + \ln C_2 = \ln\frac{C_2}{|x|}$。两边取指数，得到 $|y| = \frac{C_2}{|x|}$，即 $|y| = \frac{C_2}{|x|}$。去掉绝对值符号，可得 $y = \pm \frac{C_2}{|x|}$。由于 $C_2 > 0$，我们可以令 $C = \pm C_2$，则 $C$ 为任意非零常数。但考虑到 $C=0$ 时，$y=0$ 也是原方程的解（代入原方程 $xy' + y = 0$ 验证成立），因此 $C$ 可以取任意实数。于是通解为 $y = \frac{C}{x}$，其中 $C$ 为任意常数。注意，这里 $x \neq 0$，因为分母不能为零。最终得到的通解形式简洁，它表示一族双曲线（当 $C \neq 0$ 时）以及 $x$ 轴（当 $C=0$ 时）。

已知微分方程的通解为 $y = \frac{C}{x}$，其中 $C$ 为任意常数。题目给出的初始条件为：当 $x=1$ 时，$y=2$。将 $x=1$ 和 $y=2$ 代入通解表达式，得 $$2 = \frac{C}{1}$$ 即 $2 = C$。因此，常数 $C = 2$。于是，满足初始条件的特解为 $$y = \frac{2}{x}$$ 至此，我们确定了微分方程的特解形式，下一步将验证该解是否满足原方程及初始条件。

根据前几步的推导，我们已经得到了非齐次线性微分方程的通解形式。在本题中，通过常数变易法或待定系数法，并结合初始条件，最终确定特解中的任意常数。具体地，由步骤5得到的通解表达式为 $y = \frac{C}{x} + \frac{2}{x}$，其中 $C$ 为任意常数。代入初始条件 $y(1)=2$，得 $2 = \frac{C}{1} + \frac{2}{1}$，即 $2 = C + 2$，解得 $C = 0$。因此，特解为 $y = \frac{2}{x}$。验证：将 $y = \frac{2}{x}$ 代入原微分方程 $x y' + y = 0$（或对应的非齐次方程），左边 $x \cdot (-\frac{2}{x^2}) + \frac{2}{x} = -\frac{2}{x} + \frac{2}{x} = 0$，满足方程；且 $y(1)=2$，满足初始条件。故特解正确。