2008年考研数学一第3题

已知三阶常系数线性齐次微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$。根据常系数线性齐次微分方程解的结构，通解中的每一项对应一个特征根。具体地，指数函数 $e^{\lambda x}$ 对应实特征根 $\lambda$；而三角函数 $\cos \beta x$ 和 $\sin \beta x$ 对应一对共轭复特征根 $\alpha \pm i\beta$，其中 $\alpha$ 为实部，$\beta$ 为虚部。 观察通解： - 第一项 $C_1 e^x$ 对应特征根 $\lambda_1 = 1$（实根）。 - 第二项 $C_2 \cos 2x$ 和第三项 $C_3 \sin 2x$ 共同对应一对共轭复根。由于 $\cos 2x$ 和 $\sin 2x$ 的角频率为 $2$，且没有指数衰减或增长因子（即 $e^{\alpha x}$ 因子，$\alpha=0$），因此这对复根的实部为 $0$，虚部为 $\pm 2$，即 $\lambda_{2,3} = 0 \pm 2i = \pm 2i$。 因此，特征根为： $$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_{2,3} = \pm 2i.$$

根据微分方程的特征根写出特征方程。已知特征根为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=2i$，$\lambda_3=-2i$。特征方程的形式为 $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)=0$。代入特征根得： $$(\lambda-1)(\lambda-2i)(\lambda+2i)=0$$ 注意到 $(\lambda-2i)(\lambda+2i)$ 是共轭复根的乘积，利用平方差公式： $$(\lambda-2i)(\lambda+2i)=\lambda^2-(2i)^2=\lambda^2-(-4)=\lambda^2+4$$ 因此特征方程化简为： $$(\lambda-1)(\lambda^2+4)=0$$ 展开得： $$\lambda^3-\lambda^2+4\lambda-4=0$$ 这就是所求的特征方程。

上一步已得到特征方程 $|A - \lambda E| = (\lambda - 1)(\lambda^2 + 4) = 0$。现在需要将乘积展开为多项式形式。 首先，将 $\lambda - 1$ 与 $\lambda^2 + 4$ 相乘： $$(\lambda - 1)(\lambda^2 + 4) = \lambda \cdot (\lambda^2 + 4) - 1 \cdot (\lambda^2 + 4)$$ 分别计算两项： $$\lambda \cdot (\lambda^2 + 4) = \lambda^3 + 4\lambda$$ $$-1 \cdot (\lambda^2 + 4) = -\lambda^2 - 4$$ 将两项相加： $$\lambda^3 + 4\lambda - \lambda^2 - 4$$ 按降幂排列得到： $$\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4$$ 因此，展开后的特征方程为： $$\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$$ 注意：此多项式即为矩阵 $A$ 的特征多项式，后续步骤将对其因式分解或求根。

已知特征方程为 $\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$。根据常系数线性微分方程的特征方程构造规则，对于形如 $y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = 0$ 的齐次微分方程，其特征方程为 $\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n = 0$。因此，将特征方程中的 $\lambda^k$ 对应替换为 $y^{(k)}$（其中 $k$ 表示求导阶数），即可得到对应的微分方程。 具体地，特征方程中的 $\lambda^3$ 对应 $y'''$，$\lambda^2$ 对应 $y''$，$\lambda$ 对应 $y'$，常数项对应 $y$。注意特征方程中各项的系数符号：原特征方程为 $\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$，即 $\lambda^3$ 系数为 $1$，$\lambda^2$ 系数为 $-1$，$\lambda$ 系数为 $4$，常数项为 $-4$。因此对应的微分方程为： $$y''' - y'' + 4y' - 4y = 0.$$ 验证：将 $y = e^{\lambda x}$ 代入微分方程，得到 $(\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4)e^{\lambda x}=0$，消去 $e^{\lambda x}$ 后恰好得到原特征方程，说明对应关系正确。

我们已经通过特征方程法推导出与已知解对应的微分方程。已知解为 $y = C_1 e^{x} + e^{-x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$，其特征根为 $r_1 = 1$，$r_{2,3} = -1 \pm 2i$。特征多项式为 $(r-1)(r+1-2i)(r+1+2i) = (r-1)(r^2+2r+5) = r^3 + 2r^2 + 5r - r^2 - 2r - 5 = r^3 + r^2 + 3r - 5$。对应的微分方程为 $y''' + y'' + 3y' - 5y = 0$。 现在对比四个选项： (A) $y''' - y'' - 4y' + 4y = 0$，特征方程为 $r^3 - r^2 - 4r + 4 = 0$，因式分解得 $(r-1)(r-2)(r+2)=0$，特征根为 $1, 2, -2$，与已知解不符。 (B) $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，特征方程为 $r^3 - r^2 + 4r - 4 = 0$，因式分解得 $(r-1)(r^2+4)=0$，特征根为 $1, \pm 2i$，与已知解不符（缺少实部 $-1$）。 (C) $y''' + y'' + 4y' + 4y = 0$，特征方程为 $r^3 + r^2 + 4r + 4 = 0$，因式分解得 $(r+1)(r^2+4)=0$，特征根为 $-1, \pm 2i$，与已知解不符（缺少根 $1$）。 (D) $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，特征方程为 $r^3 - r^2 + 4r - 4 = 0$，因式分解得 $(r-1)(r^2+4)=0$，特征根为 $1, \pm 2i$，与已知解不符（缺少实部 $-1$）。 注意：我们之前推导的特征多项式为 $r^3 + r^2 + 3r - 5$，但四个选项中均无此形式。重新检查已知解：$y = C_1 e^{x} + e^{-x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$，特征根应为 $1$ 和 $-1 \pm 2i$。特征多项式为 $(r-1)(r+1-2i)(r+1+2i) = (r-1)[(r+1)^2 + 4] = (r-1)(r^2+2r+1+4) = (r-1)(r^2+2r+5) = r^3 + 2r^2 + 5r - r^2 - 2r - 5 = r^3 + r^2 + 3r - 5$。对应微分方程为 $y''' + y'' + 3y' - 5y = 0$。但选项中无此方程，说明原题已知解可能有误？ 实际上，题目中已知解为 $y = C_1 e^{x} + e^{-x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$，则特征根为 $1$ 和 $-1 \pm 2i$，特征多项式为 $(r-1)(r+1-2i)(r+1+2i) = (r-1)(r^2+2r+5) = r^3 + r^2 + 3r - 5$。但四个选项对应的特征多项式分别为： (A) $(r-1)(r-2)(r+2)$，根为 $1,2,-2$； (B) $(r-1)(r^2+4)$，根为 $1, \pm 2i$； (C) $(r+1)(r^2+4)$，根为 $-1, \pm 2i$； (D) $(r-1)(r^2+4)$，根为 $1, \pm 2i$。 显然，选项(B)和(D)的特征多项式相同，均为 $(r-1)(r^2+4)$，根为 $1, \pm 2i$，缺少实部 $-1$。而选项(C)的根为 $-1, \pm 2i$，缺少根 $1$。选项(A)的根为 $1,2,-2$，完全不符。 因此，四个选项均与所求微分方程 $y''' + y'' + 3y' - 5y = 0$ 不一致。但根据题目步骤目标，我们需选择正确选项。可能题目中已知解为 $y = C_1 e^{x} + e^{x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$ 或 $y = C_1 e^{x} + e^{-x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$ 有误？ 实际上，若已知解为 $y = C_1 e^{x} + e^{-x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$，则特征根为 $1$ 和 $-1 \pm 2i$，对应微分方程为 $y''' + y'' + 3y' - 5y = 0$。但选项中无此方程。 若已知解为 $y = C_1 e^{x} + e^{x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$，则特征根为 $1$（二重根）和 $1 \pm 2i$？不，$e^{x}\cos 2x$ 对应特征根 $1 \pm 2i$，则特征根为 $1$（单根）和 $1 \pm 2i$，特征多项式为 $(r-1)(r-1-2i)(r-1+2i) = (r-1)(r^2-2r+5) = r^3 - 3r^2 + 7r - 5$，对应微分方程 $y''' - 3y'' + 7y' - 5y = 0$，也不在选项中。 若已知解为 $y = C_1 e^{x} + e^{-x}(C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x)$，但题目中选项(B)和(D)均为 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，其特征根为 $1, \pm 2i$，与已知解相比，缺少实部 $-1$。 因此，可能题目中已知解应为 $y = C_1 e^{x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$？这样特征根为 $1, \pm 2i$，特征多项式为 $(r-1)(r^2+4) = r^3 - r^2 + 4r - 4$，对应微分方程 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，即选项(B)和(D)相同。但选项(B)和(D)的表达式完全一样，均为 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，这可能是题目印刷错误？ 根据步骤概要，选项(D)为 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，与所求一致，故选(D)。因此，我们认定已知解应为 $y = C_1 e^{x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$，特征根为 $1, \pm 2i$，特征多项式为 $(r-1)(r^2+4) = r^3 - r^2 + 4r - 4$，对应微分方程 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$。 验证：将 $y = e^{x}$ 代入方程 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$，得 $e^{x} - e^{x} + 4e^{x} - 4e^{x} = 0$，成立。将 $y = \cos 2x$ 代入，$y' = -2\sin 2x$，$y'' = -4\cos 2x$，$y''' = 8\sin 2x$，代入得 $8\sin 2x - (-4\cos 2x) + 4(-2\sin 2x) - 4\cos 2x = 8\sin 2x + 4\cos 2x - 8\sin 2x - 4\cos 2x = 0$，成立。同理 $y = \sin 2x$ 也满足。因此选项(D)正确。