2008年考研数学一第4题

选项A的表述为：若数列$x_n$收敛，则函数值数列$f(x_n)$必收敛。我们需要判断该命题是否正确。 考虑反例：设函数$f(x)$为符号函数，即 $$f(x)=\begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{cases}$$ 该函数在$x=0$处不连续，但它在整个定义域上单调递增且有界（值域为$\{-1,0,1\}$）。 取数列$x_n=\frac{(-1)^n}{n}$，显然当$n\to\infty$时，$x_n\to 0$，即$x_n$收敛于$0$。 计算对应的函数值数列$f(x_n)$： - 当$n$为奇数时，$x_n=-\frac{1}{n}<0$，故$f(x_n)=-1$； - 当$n$为偶数时，$x_n=\frac{1}{n}>0$，故$f(x_n)=1$。 因此$f(x_n)$的奇数项为$-1$，偶数项为$1$，该数列不收敛（它在$-1$和$1$之间振荡）。 这个反例说明：即使$f(x)$单调有界，且$x_n$收敛，$f(x_n)$也可能不收敛。因此选项A是错误的。 关键点：函数$f$在极限点$x_0$处的连续性对于保证$f(x_n)$收敛至关重要。若$f$在$x_0$处不连续，即使$f$单调有界，也无法保证$f(x_n)$收敛。

分析选项B：设数列$x_n$单调，函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调且有界。 首先，由于$f$单调，不妨设$f$单调递增（单调递减情形类似可证）。又$x_n$单调，不妨设$x_n$单调递增。则对任意$n$，有$x_n \leq x_{n+1}$，由$f$单调递增得$f(x_n) \leq f(x_{n+1})$，因此数列$\{f(x_n)\}$单调递增。 其次，$f$有界，即存在常数$M>0$使得对任意$x\in\mathbb{R}$，有$|f(x)|\leq M$。特别地，对任意$n$，$|f(x_n)|\leq M$，故数列$\{f(x_n)\}$有界。 由单调有界准则（单调有界数列必有极限），知数列$\{f(x_n)\}$收敛。因此选项B正确。 注意：这里并未要求$x_n$有界，仅利用$f$的有界性即可保证$\{f(x_n)\}$有界；单调性则由$f$和$x_n$的单调性共同保证。

选项C的表述为：若数列$\{f(x_n)\}$收敛，则数列$\{x_n\}$也收敛。我们需要判断这一命题是否成立。考虑构造反例：取函数$f(x)$为常数函数，例如$f(x)=c$（$c$为任意常数）。此时，对于任意数列$\{x_n\}$，都有$f(x_n)=c$，因此数列$\{f(x_n)\}$显然收敛（收敛到$c$）。但是，数列$\{x_n\}$可以任意发散，例如取$x_n=n$，则$\{x_n\}$发散到无穷；或者取$x_n=(-1)^n$，则$\{x_n\}$振荡发散。这表明，即使$\{f(x_n)\}$收敛，$\{x_n\}$也可能不收敛。因此，选项C的命题不成立，应排除C。注意，这里的关键在于$f$为常数函数时，$f(x_n)$恒为常数，收敛性完全不受$x_n$变化的影响，从而无法由$f(x_n)$的收敛性推出$x_n$的收敛性。该反例简洁有力地说明了选项C的错误。

选项D的表述为：若$f(x)$在$(a,b)$内单调有界，且$\{x_n\}\subset(a,b)$，则$\{f(x_n)\}$收敛。我们需要判断该命题是否正确。 首先，由$f(x)$在$(a,b)$内单调有界，根据单调有界定理，$f(x)$在$(a,b)$内每一点的极限存在（但未必连续），且$f(x)$在$(a,b)$内至多有可数个间断点。然而，对于数列$\{x_n\}$，即使$f$单调有界，$\{f(x_n)\}$的收敛性并不直接由$f$的性质保证，因为$\{x_n\}$本身可能不收敛，而$f$的单调性可能无法“压制”$x_n$的振荡。 考虑反例：取$(a,b)=(-1,1)$，定义$f(x)=x$，显然$f$在$(-1,1)$内单调递增且有界（$|f(x)|<1$）。取数列$x_n=(-1)^n\cdot\frac{1}{2}$，即$x_n$交替取$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$。则$\{x_n\}\subset(-1,1)$，但$\{x_n\}$不收敛（振荡）。此时$f(x_n)=x_n$，故$\{f(x_n)\}$也不收敛（在$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$之间振荡）。因此，选项D不成立。 更一般的反例：取$f(x)=\arctan x$在$(-\infty,+\infty)$上单调有界，取$x_n=(-1)^n$，则$\{f(x_n)\}$在$\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$和$\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$之间振荡，不收敛。 注意：若$\{x_n\}$本身收敛，则$\{f(x_n)\}$收敛（由$f$的单调有界性可推出$f$在极限点处有极限，但需注意间断点情况，不过本题中$f$单调有界，在收敛点处极限存在）。但选项D未要求$\{x_n\}$收敛，故反例成立。 因此，选项D错误。

综合前几步的分析：首先，根据题目条件，函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$。设$g(x)=\frac{f(x)}{x}$（$x\neq0$），并补充定义$g(0)=f'(0)$，则$g(x)$在$x=0$处连续。其次，考虑极限$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x^2}$，利用洛必达法则或积分中值定理可得该极限等于$\frac{f'(0)}{2}$。然后，分析选项： - 选项A：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)$，但题目要求的是$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x^2}$，两者不一定相等，除非$f'(0)=0$，故A不一定正确。 - 选项B：$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x^2}=\frac{f'(0)}{2}$，这正是我们推导出的结果，因此B正确。 - 选项C：$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=0$，但该极限实际上等于$f(0)=0$，虽然成立，但题目要求的是与$\frac{f'(0)}{2}$相关的极限，C不是题目所问。 - 选项D：$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=f'(0)$，该极限应为0，除非$f'(0)=0$，故D错误。 因此，只有选项B符合推导结果。最终答案为B。 验证：取一个满足条件的简单函数$f(x)=x$，则$f'(0)=1$，$\int_0^x tdt=\frac{x^2}{2}$，$\lim_{x\to0}\frac{x^2/2}{x^2}=\frac{1}{2}=\frac{f'(0)}{2}$，与选项B一致。