💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
由 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，得 $\displaystyle\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}} \sim N(0,1), \displaystyle\frac{Y-\mu_{2}}{\sigma_{2}} \sim N(0,1)$ ，
$P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right}=P\left\{-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\lt \displaystyle\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\lt \displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right}=\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)-\Phi\left(-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)=2 \Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)-1$,
$P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right}=P\left\{-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\lt \displaystyle\frac{Y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\lt \displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right}=\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)-\Phi\left(-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)=2 \Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)-1$,
由 $P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right}\gt P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right}$ ，得 $\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)\gt \Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)$ ，即 $\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\gt \displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}$ 或 $\sigma_{1}\lt \sigma_{2}$ ，应选（A）．
## 三、解答题
📋 详细解题步骤
目标：标准化随机变量
首先，我们需要将给定的随机变量 $X$ 和 $Y$ 标准化为标准正态分布。已知 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$。标准化变换的公式为：对于任意正态随机变量 $W \sim N(\mu, \sigma^2)$，令 $Z = \frac{W - \mu}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0,1)$。
因此，我们定义：
$$Z_1 = \frac{X - \mu_1}{\sigma_1} \sim N(0,1)$$
$$Z_2 = \frac{Y - \mu_2}{\sigma_2} \sim N(0,1)$$
标准化后的随机变量 $Z_1$ 和 $Z_2$ 均服从标准正态分布，其均值为0，方差为1。这一步骤是后续计算概率和分位数的必要准备，因为标准正态分布的概率值可以通过查表或已知的分布函数获得。
注意：标准化变换是线性变换，因此 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的相关系数保持不变。若原 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho$，则 $Z_1$ 与 $Z_2$ 的相关系数仍为 $\rho$。这是因为协方差在标准化后变为：
$$\text{Cov}(Z_1, Z_2) = \text{Cov}\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}, \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\right) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_1 \sigma_2} = \rho$$
而方差均为1，故相关系数不变。
公式：$$Z_1 = \frac{X - \mu_1}{\sigma_1} \sim N(0,1), \quad Z_2 = \frac{Y - \mu_2}{\sigma_2} \sim N(0,1)$$
提示：标准化后均值为0、方差为1，相关系数不变，这是后续计算的关键。
目标：用标准正态分布函数表示概率
已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y$ 服从正态分布 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。本步骤的目标是将概率 $P\{|X-\mu_1|<1\}$ 和 $P\{|Y-\mu_2|<1\}$ 用标准正态分布函数 $\Phi(\cdot)$ 表示。
首先处理 $X$。对 $X$ 进行标准化变换：令 $Z_1 = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$，则 $Z_1 \sim N(0,1)$。事件 $\{|X-\mu_1|<1\}$ 等价于 $\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\}$。因此，
$$P\{|X-\mu_1|<1\} = P\left\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\right\}.$$
由于标准正态分布关于原点对称，有
$$P\{|Z_1| < a\} = \Phi(a) - \Phi(-a) = \Phi(a) - (1-\Phi(a)) = 2\Phi(a)-1,$$
其中 $a = \frac{1}{\sigma_1}$。于是
$$P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1.$$
同理，对 $Y$ 进行标准化：令 $Z_2 = \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$，则 $Z_2 \sim N(0,1)$。事件 $\{|Y-\mu_2|<1\}$ 等价于 $\{|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}\}$，因此
$$P\{|Y-\mu_2|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1.$$
至此，两个概率均表示为标准正态分布函数 $\Phi$ 的形式，为后续步骤中比较概率大小或进行其他运算奠定了基础。
公式：P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1, \quad P\{|Y-\mu_2|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1
提示：标准化是处理正态分布概率的通用方法，注意绝对值不等式转化为对称区间。
目标：利用概率不等式推导分位点不等式
已知条件为 $P\{|X-\mu_1|<1\} > P\{|Y-\mu_2|<1\}$，且 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$。
首先，将 $X$ 标准化：令 $Z_X = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$，则 $Z_X \sim N(0,1)$。于是
$$
P\{|X-\mu_1|<1\} = P\left\{\left|\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} = P\left\{|Z_X| < \frac{1}{\sigma_1}\right\}.
$$
同理，令 $Z_Y = \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2} \sim N(0,1)$，则
$$
P\{|Y-\mu_2|<1\} = P\left\{|Z_Y| < \frac{1}{\sigma_2}\right\}.
$$
对于标准正态分布 $Z \sim N(0,1)$，有
$$
P\{|Z| < a\} = \Phi(a) - \Phi(-a) = \Phi(a) - (1-\Phi(a)) = 2\Phi(a)-1,
$$
其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的分布函数。
因此，原不等式化为
$$
2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1.
$$
两边同时加1并除以2，得
$$
\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right).
$$
由于 $\Phi(x)$ 是严格单调递增函数，所以上式等价于
$$
\frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2}.
$$
进而得到 $\sigma_1 < \sigma_2$。
至此，我们由概率不等式推导出了分位点（即 $1/\sigma$）之间的不等式关系，为后续步骤中比较 $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 的大小奠定了基础。
公式：$$P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right)-1, \quad P\{|Y-\mu_2|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right)-1$$
提示：利用正态分布的对称性简化绝对值概率，并注意分布函数的单调性。
目标：利用标准正态分布函数的单调性
已知标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 是严格单调递增函数，即对于任意实数 $x_1 < x_2$，有 $\Phi(x_1) < \Phi(x_2)$。
由前一步骤得到的不等式：
$$
\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right)
$$
由于 $\Phi(x)$ 严格单调递增，因此上述不等式等价于自变量之间的大小关系：
$$
\frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2}
$$
这里 $\sigma_1 > 0$，$\sigma_2 > 0$ 是总体的标准差。根据不等式的性质，两边同时乘以正数 $\sigma_1 \sigma_2$ 可得：
$$
\sigma_2 > \sigma_1
$$
即 $\sigma_1 < \sigma_2$。
因此，利用标准正态分布函数的单调性，我们成功将概率不等式转化为参数 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 之间的大小关系，为下一步确定拒绝域提供了关键依据。
公式：\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) \iff \frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2} \iff \sigma_1 < \sigma_2
提示：牢记标准正态分布函数严格单调递增，比较概率大小即转化为比较自变量大小。
目标：得出标准差关系并选择答案
由前一步已知，样本方差满足 $S_1^2 < S_2^2$，且样本容量相同，均为 $n$。根据正态总体方差的无偏估计性质，样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，即 $E(S^2)=\sigma^2$。因此，样本方差的大小关系在一定程度上反映了总体方差的大小关系。进一步，由 $S_1^2 < S_2^2$ 可得 $\frac{1}{S_1^2} > \frac{1}{S_2^2}$。而题目中给出的统计量 $\frac{1}{S_1^2}$ 和 $\frac{1}{S_2^2}$ 分别对应总体标准差倒数的估计，即 $\frac{1}{\sigma_1}$ 和 $\frac{1}{\sigma_2}$ 的估计量。由于样本方差是总体方差的一致估计，当样本量足够大时，$S^2$ 依概率收敛于 $\sigma^2$，因此 $\frac{1}{S_1^2} > \frac{1}{S_2^2}$ 意味着 $\frac{1}{\sigma_1^2} > \frac{1}{\sigma_2^2}$，从而 $\sigma_1^2 < \sigma_2^2$。开方后得到 $\sigma_1 < \sigma_2$。因此，两个正态总体的标准差满足 $\sigma_1 < \sigma_2$。对照选项，选项 (A) 为 $\sigma_1 < \sigma_2$，故正确选项为 (A)。最终答案验证：由样本方差关系推导出总体方差关系，再得到标准差关系，逻辑一致，结论正确。
公式：$$\sigma_1 < \sigma_2$$
提示：注意样本方差是总体方差的无偏估计，大小关系一致，开方后标准差关系不变。