2006年考研数学三第13题

本题中，矩阵$A$经过一次行变换得到矩阵$B$，具体操作为：将$A$的第2行加到第1行。这一行变换可以用左乘一个初等矩阵$P$来表示，即$B = PA$。 初等矩阵$P$由单位矩阵$E$经过相同的行变换得到。设$A$为$n$阶方阵（题目中$n$由具体矩阵阶数确定，此处以一般情况说明），则单位矩阵$E$的第2行加到第1行后得到初等矩阵$P$。具体地，$P$是一个$n$阶方阵，其对角线元素均为1，且在第1行第2列的位置上有一个1（表示将第2行加到第1行），其余位置为0。即： $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ 验证：左乘$P$相当于对$A$进行行变换。设$A$的行向量为$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_n$，则$PA$的第一行变为$\mathbf{r}_1 + \mathbf{r}_2$，其余行不变，这正是将第2行加到第1行的结果。因此，$B = PA$成立。 在本步骤中，我们明确了行变换对应的初等矩阵$P$，为后续步骤中计算$P$的逆矩阵或进一步变换奠定了基础。

已知矩阵$B$，现对$B$实施列变换：将$B$的第1列的$-1$倍加到第2列，得到新矩阵$C$。这一列变换相当于在$B$的右边乘上一个初等矩阵。 设$B$为$n$阶方阵（或$n$列矩阵），右乘初等矩阵的效果是对矩阵进行列变换。将第1列的$-1$倍加到第2列，对应的初等矩阵是将单位矩阵$I_n$的第1列乘以$-1$再加到第2列上，即 $$ P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. $$ 注意，右乘$P$表示对$B$进行列变换：$BP$的结果是将$B$的第1列乘以$-1$加到第2列。因此，$C = BP$。 然而，题目中给出的关系是$C = BP^{-1}$，这意味着我们需要用$P^{-1}$来表示该列变换。由于$P$是初等矩阵，其逆矩阵也是初等矩阵，且对应相反的列变换：将第1列的$1$倍加到第2列（即加回）。具体地， $$ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. $$ 验证：$PP^{-1}=I$。 因此，将$B$的第1列的$-1$倍加到第2列得到$C$，等价于$C = BP^{-1}$，其中$P^{-1}$是上述初等矩阵。这一表示将列变换转化为矩阵乘法，便于后续推导。

本步骤的目标是将前两步得到的关系式进行合并，从而消去中间矩阵$B$，直接得到$C$与$A$之间的关系。 已知第一步得到：$B = PA$，其中$P$为可逆矩阵。 第二步得到：$C = BP^{-1}$。 将$B = PA$代入$C = BP^{-1}$中，即用$PA$替换$B$： $$C = (PA)P^{-1}.$$ 根据矩阵乘法的结合律，上式可写为： $$C = P(A P^{-1}).$$ 由于矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律，因此我们保持顺序不变。进一步，利用结合律将括号重新组合： $$C = P A P^{-1}.$$ 至此，我们得到了$C$与$A$的直接关系：$C = P A P^{-1}$。这表明$C$与$A$是相似矩阵，$P$即为相似变换矩阵。 这一合并过程是线性代数中推导相似关系的关键步骤，它揭示了矩阵$A$经过两次变换（先左乘$P$，再右乘$P^{-1}$）后得到$C$，而$C$与$A$具有相同的特征值等相似不变量。

在第三步中，我们通过矩阵对角化的理论推导得出，若矩阵$A$与$B$相似，则存在可逆矩阵$P$使得$B = P^{-1}AP$。题目中已知$A$与$B$相似，且$A$可对角化，即存在可逆矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$使得$A = Q\Lambda Q^{-1}$。将$A$的表达式代入$B = P^{-1}AP$，得到$B = P^{-1}(Q\Lambda Q^{-1})P = (P^{-1}Q)\Lambda (Q^{-1}P)$。令$R = Q^{-1}P$，则$R$可逆，且$B = R^{-1}\Lambda R$，即$B$也与同一个对角矩阵$\Lambda$相似，因此$B$也可对角化。 现在我们需要从四个选项中选出与$C = PAP^{-1}$等价的表达式。注意，$C$是通过对$A$进行相似变换得到的，即$C$与$A$相似。由于$A$与$B$相似，根据相似的传递性，$C$也与$B$相似。但题目要求的是$C$的具体形式与哪个选项一致。 观察选项： (A) $P^{-1}AP$ (B) $PAP^{-1}$ (C) $P^{-1}BP$ (D) $PBP^{-1}$ 题目中给出的$C$就是$PAP^{-1}$，因此直接对应选项(B)。无需进一步计算。 验证：若$C = PAP^{-1}$，则$C$与$A$相似（因为$P$可逆）。由于$A$与$B$相似，故$C$与$B$也相似，但选项(B)本身即为$C$的定义式，所以答案就是(B)。 最终答案：选项(B)。