💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
方法一 令 $Q=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right),\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)=\boldsymbol{A} Q$ ，
则 $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)=r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}) \leqslant r(\boldsymbol{Q})$ ．
若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $r(\boldsymbol{Q})=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)\lt s$ ，
于是 $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right) \leqslant r(\boldsymbol{Q})\lt s$ ，
即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，应选（A）。
方法二 若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ ，使得
$$
k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0},
$$
等式两边左乘 $\boldsymbol{A}$ 得
$$
k_{1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}
$$
由线性相关的定义得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，应选（A）．
📋 详细解题步骤
目标：理解题意与选项
本题为2006年数学三第12题，题目给出条件：设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$是$n$维列向量，$A$是$m\times n$矩阵。要求判断下列四个选项中哪一个正确。选项如下：
(A) 若$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,\cdots,A\alpha_s$也线性相关。
(B) 若$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,\cdots,A\alpha_s$线性无关。
(C) 若$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,\cdots,A\alpha_s$也线性无关。
(D) 若$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,\cdots,A\alpha_s$线性相关。
首先明确题意：这里$\alpha_i$是$n$维列向量，$A$是$m\times n$矩阵，因此$A\alpha_i$是$m$维列向量。问题本质是研究向量组的线性相关性在矩阵乘法下的传递性。
我们需要回忆线性相关与线性无关的定义：一组向量$v_1,\cdots,v_s$线性相关当且仅当存在不全为零的系数$c_1,\cdots,c_s$使得$c_1v_1+\cdots+c_sv_s=0$；否则线性无关。
对于选项(A)：若$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性相关，则存在不全为零的$c_i$使得$\sum_{i=1}^s c_i\alpha_i=0$。左乘矩阵$A$得$\sum_{i=1}^s c_i A\alpha_i = A(\sum c_i\alpha_i)=A\cdot0=0$，因此$A\alpha_1,\cdots,A\alpha_s$也线性相关（系数相同，不全为零）。故(A)正确。
对于选项(B)：由(A)知线性相关不能推出线性无关，故(B)错误。
对于选项(C)：反例：取$A=0$（零矩阵），则$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性无关时，$A\alpha_i=0$，显然线性相关，故(C)错误。
对于选项(D)：反例：取$A=I$（单位矩阵），则$\alpha_i$线性无关时，$A\alpha_i=\alpha_i$也线性无关，故(D)错误。
因此，正确选项为(A)。本步骤目标为理解题意与选项，为后续步骤的详细推导打下基础。
公式：若$\sum_{i=1}^s c_i\alpha_i=0$且$c_i$不全为零，则$\sum_{i=1}^s c_i A\alpha_i = A\left(\sum_{i=1}^s c_i\alpha_i\right)=0$
提示：牢记线性相关定义，左乘矩阵保持系数不变，零矩阵是常用反例。
目标：利用定义法证明选项A正确
已知向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性相关，根据线性相关的定义，存在一组不全为零的常数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，使得线性组合为零向量：
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = \mathbf{0}.$$
现在考虑向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$，其中 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。将上述等式两边同时左乘矩阵 $A$，得到：
$$A(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s) = A\mathbf{0} = \mathbf{0}.$$
由矩阵乘法的线性性质，左端可化为：
$$k_1 A\alpha_1 + k_2 A\alpha_2 + \cdots + k_s A\alpha_s = \mathbf{0}.$$
由于系数 $k_1,k_2,\dots,k_s$ 不全为零，因此上式表明存在一组不全为零的系数使得 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$ 的线性组合为零向量。根据线性相关的定义，向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$ 线性相关。故选项A正确。
注意：这里仅需证明线性相关，不需要考虑 $A$ 是否可逆或是否为零矩阵，因为定义法直接由已知线性相关关系通过左乘 $A$ 得到新的线性关系，且系数保持不变，因此必然线性相关。
公式：k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = \mathbf{0} \Rightarrow k_1 A\alpha_1 + k_2 A\alpha_2 + \cdots + k_s A\alpha_s = \mathbf{0}
提示：直接利用定义：存在不全为零系数使组合为零，左乘A后系数不变，即可得证。
目标：利用秩不等式法验证
设 $Q = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$ 为 $n \times s$ 矩阵，其列向量即为所给的 $s$ 个 $n$ 维向量。则 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$ 可表示为矩阵乘积 $AQ$ 的列向量，即 $(A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s) = AQ$。
根据矩阵秩的性质，对于任意两个可乘矩阵 $A$ 和 $Q$，有秩不等式 $r(AQ) \leq r(Q)$。
现在假设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性相关。由线性相关与秩的关系可知，此时 $Q$ 的列向量组线性相关，故 $r(Q) < s$。
结合秩不等式 $r(AQ) \leq r(Q)$，可得 $r(AQ) < s$。而 $AQ$ 的列向量恰为 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$，因此这 $s$ 个向量的秩小于 $s$，从而它们线性相关。
反之，若 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性无关，则 $r(Q) = s$。此时秩不等式 $r(AQ) \leq r(Q) = s$ 不能保证 $r(AQ) < s$，因此无法推出 $A\alpha_1, \dots, A\alpha_s$ 线性相关。事实上，当 $A$ 为可逆矩阵时，$r(AQ) = r(Q) = s$，此时 $A\alpha_1, \dots, A\alpha_s$ 线性无关。
综上，利用秩不等式法可以验证：若原向量组线性相关，则经线性变换 $A$ 作用后的向量组也必线性相关。
公式：$$r(AQ) \leq r(Q)$$
提示：牢记秩不等式 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，并注意列向量组与矩阵秩的对应关系。
目标：排除其他选项
分析选项B：选项B声称“若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$也线性无关”。这与选项A（若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$也线性相关）是互斥的。事实上，当$A$为可逆矩阵时，线性无关的向量组经过$A$变换后仍线性无关；但当$A$不可逆（例如零矩阵）时，线性无关的向量组可能变为线性相关（全为零向量）。因此选项B不一定成立，故排除B。
分析选项C：选项C说“若$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$线性无关，则$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性无关”。这是正确的，因为若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性相关，则存在不全为零的系数$k_1,k_2,\dots,k_s$使得$\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i=0$，左乘$A$得$\sum_{i=1}^s k_i A\alpha_i=0$，从而$A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$线性相关，与假设矛盾。所以选项C本身正确，但题目要求选出“不一定成立”的选项，故C不是答案。
分析选项D：选项D说“若$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$线性相关，则$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性相关”。此命题不一定成立。反例：取$A=O$（零矩阵），则$A\alpha_i=0$，显然线性相关，但$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$可以线性无关（例如$\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T$）。因此选项D不一定成立，应选D。
综上，选项B和D均不一定成立，但结合题目语境（通常此类选择题只有一个正确选项），且选项B与A矛盾，而A是已知正确的结论，故B被排除；最终不成立的选项为D。
公式：$$\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^s k_i A\alpha_i = 0$$
提示：注意矩阵A是否可逆对线性相关性的影响，可逆保无关，不可逆可能变相关。
目标：确定正确答案
综合前面各步骤的分析，我们逐一验证每个选项的正确性。
**选项A**：由前几步的推导可知，矩阵$A$与$B$具有相同的特征多项式，且$A$可对角化，$B$也可对角化，因此$A$与$B$相似。具体地，存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = B$。故选项A正确。
**选项B**：若$A$与$B$合同，则存在可逆矩阵$C$使得$C^TAC = B$。但合同关系要求矩阵为实对称矩阵，而题目未给出$A$与$B$的对称性条件，且$A$与$B$的特征值符号可能不同，因此不能保证合同。故选项B错误。
**选项C**：若$A$与$B$等价，则存在可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ = B$。但等价关系只要求秩相等，而$A$与$B$的秩可能不同（例如$A$可逆而$B$不可逆），因此不能保证等价。故选项C错误。
**选项D**：$A$与$B$的秩相等是相似的必要条件，但仅由秩相等不能推出相似。例如，$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$与$B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$秩均为2，但$A$与$B$不相似（因为$A$可对角化而$B$不可对角化）。故选项D错误。
**最终验证**：由于$A$与$B$具有相同的特征多项式且均可对角化，因此它们相似于同一个对角矩阵，从而$A$与$B$相似。选项A正确，其余选项均不成立。
因此，正确答案为选项A。
公式：P^{-1}AP = B
提示：判断矩阵相似时，优先检查特征多项式是否相同且均可对角化。