2006年考研数学三第11题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（）

若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。

若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．

若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。

若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．

💡 答案解析

**答案**: （D）．

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**解析**:

方法一因为 $\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，所以 $\varphi(x, y)=0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的函数，设为 $y= y(x)$ ，代人 $z=f(x, y)$ 中，得 $z=f[x, y(x)]$ 。因为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为极值点，所以 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot y^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，应选（D）。方法二令 $F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$ ，因为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为极值点，所以

$$ \left\{\begin{array}{l} F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda \varphi_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda \varphi_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ F_{\lambda}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \end{array}\right. $$

当 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ 时,$\lambda \neq 0$ ．由 $\varphi_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，得 $\lambda \varphi_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，应选（D）．

📋 详细解题步骤

步骤 1/2

目标：应用拉格朗日乘数法，写出极值点满足的条件

设目标函数为 $f(x,y)$，约束条件为 $\varphi(x,y)=0$。根据拉格朗日乘数法，若点 $(x_0,y_0)$ 是条件极值问题的可能极值点，则存在实数 $\lambda$（称为拉格朗日乘数），使得梯度向量 $\nabla f(x_0,y_0)$ 与梯度向量 $\nabla \varphi(x_0,y_0)$ 平行，即满足： $$ \nabla f(x_0,y_0) = \lambda \nabla \varphi(x_0,y_0). $$ 将梯度分量写出，得到两个方程： $$ f_x'(x_0,y_0) = \lambda \varphi_x'(x_0,y_0), \quad f_y'(x_0,y_0) = \lambda \varphi_y'(x_0,y_0). $$ 同时，点 $(x_0,y_0)$ 必须满足约束条件： $$ \varphi(x_0,y_0)=0. $$ 因此，极值点 $(x_0,y_0)$ 与乘数 $\lambda$ 需联立求解以下方程组： $$ \begin{cases} f_x'(x,y) = \lambda \varphi_x'(x,y), \\ f_y'(x,y) = \lambda \varphi_y'(x,y), \\ \varphi(x,y)=0. \end{cases} $$ 这一方程组即为条件极值点所满足的必要条件。在实际解题中，我们通常将 $x,y,\lambda$ 视为未知数，通过消元或代入法求解可能的极值点坐标。注意，拉格朗日乘数法只给出候选点，还需进一步判断是否为极值点（通常利用二阶条件或实际背景）。

公式：$$ \begin{cases} f_x'(x,y) = \lambda \varphi_x'(x,y), \\ f_y'(x,y) = \lambda \varphi_y'(x,y), \\ \varphi(x,y)=0. \end{cases} $$

提示：列方程组时，务必同时写出三个方程，缺一不可。

步骤 2/2

目标：利用已知条件φ_y'≠0，分析f_x'与f_y'的关系，判断选项

已知在点$(x_0,y_0)$处，由隐函数存在定理的条件，有$f_x' = \lambda \varphi_x'$，$f_y' = \lambda \varphi_y'$，且$\varphi_y' \neq 0$。由$f_y' = \lambda \varphi_y'$及$\varphi_y' \neq 0$，可解得$\lambda = \dfrac{f_y'}{\varphi_y'}$。将$\lambda$代入$f_x' = \lambda \varphi_x'$，得 $$f_x' = \frac{f_y'}{\varphi_y'} \cdot \varphi_x'.$$ 现在分析$f_x'$与$f_y'$的关系： - 若$f_x' = 0$，则$\dfrac{f_y'}{\varphi_y'} \cdot \varphi_x' = 0$。由于$\varphi_y' \neq 0$，故$f_y' \cdot \varphi_x' = 0$，即$f_y' = 0$或$\varphi_x' = 0$。因此，$f_x' = 0$时，$f_y'$可能为0也可能不为0，无法确定$f_y'$必为0或必非0。 - 若$f_x' \neq 0$，则$\dfrac{f_y'}{\varphi_y'} \cdot \varphi_x' \neq 0$，从而$f_y' \neq 0$（因为若$f_y' = 0$，则左边为0，矛盾）。因此，$f_x' \neq 0$可推出$f_y' \neq 0$。结合选项： (A) $f_x' = 0$是$f_y' = 0$的充分条件？反例：$f_x'=0$时$f_y'$可能非0，故不充分。 (B) $f_x' = 0$是$f_y' = 0$的必要条件？反例：$f_y'=0$时$f_x'$可能非0（若$\varphi_x' \neq 0$），故不必要。 (C) $f_x' \neq 0$是$f_y' \neq 0$的必要条件？若$f_y' \neq 0$，由$f_x' = \frac{f_y'}{\varphi_y'} \varphi_x'$，$f_x'$可能为0（当$\varphi_x'=0$时），故不必要。 (D) $f_x' \neq 0$是$f_y' \neq 0$的充分条件？由上述推导，$f_x' \neq 0$可推出$f_y' \neq 0$，故充分。因此正确选项为(D)。

公式：f_x' = \frac{f_y'}{\varphi_y'} \cdot \varphi_x'

提示：注意由f_x'≠0可推出f_y'≠0，但反之不一定成立。

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