2006年考研数学三第10题

一阶非齐次线性微分方程的标准形式为： $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ 其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，且 $Q(x) \not\equiv 0$。 对于这类方程，其通解结构由两部分叠加而成： 1. **对应齐次方程的通解**：齐次方程为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$，这是一个可分离变量方程。分离变量得 $\frac{dy}{y} = -P(x)dx$，两边积分得 $\ln|y| = -\int P(x)dx + C$，从而齐次方程的通解为 $y_h = C e^{-\int P(x)dx}$，其中 $C$ 为任意常数。 2. **非齐次方程的一个特解**：非齐次方程的特解 $y_p$ 可以通过常数变易法或积分因子法求得。常数变易法将齐次通解中的常数 $C$ 替换为函数 $u(x)$，即设 $y = u(x) e^{-\int P(x)dx}$，代入原非齐次方程求出 $u(x)$，从而得到特解。积分因子法则是将方程两边乘以积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$，使左边成为 $(\mu y)'$，然后积分得到通解公式： $$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right)$$ 该公式本身已包含齐次通解和特解。 **通解结构定理**：非齐次线性微分方程的通解等于其对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，即 $y = y_h + y_p$。这一结构源于线性微分方程的线性性质：若 $y_1$ 和 $y_2$ 是齐次方程的解，则它们的线性组合仍是齐次解；而非齐次方程任意两个解之差是齐次解。因此，若已知一个特解 $y_p$，则所有解可表示为 $y_p$ 加上齐次通解。 在解题时，通常先求解齐次方程得到 $y_h$，再通过常数变易法或直接套用通解公式求得 $y_p$，最后合并得到通解。

已知非齐次线性微分方程的两个不同的解 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$。根据线性微分方程解的结构性质，非齐次方程的两个解之差满足对应的齐次方程。因此，构造差函数 $z(x) = y_1(x) - y_2(x)$。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 不同，$z(x)$ 不恒为零，从而得到齐次方程的一个非零解。具体推导如下： 设原非齐次方程为 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中 $p(x), q(x), f(x)$ 为已知函数。将 $y_1$ 和 $y_2$ 分别代入： $$y_1'' + p(x)y_1' + q(x)y_1 = f(x)$$ $$y_2'' + p(x)y_2' + q(x)y_2 = f(x)$$ 两式相减得： $$(y_1'' - y_2'') + p(x)(y_1' - y_2') + q(x)(y_1 - y_2) = 0$$ 即 $$z'' + p(x)z' + q(x)z = 0$$ 所以 $z(x) = y_1(x) - y_2(x)$ 满足齐次方程，且由于 $y_1 \neq y_2$，$z(x)$ 不是零函数，故为齐次方程的一个非零解。 此步骤的关键在于利用非齐次方程解之间的差构造齐次方程的解，这是线性微分方程叠加原理的直接应用。

在求解非齐次线性微分方程时，我们已经得到了对应的齐次方程的两个线性无关的特解$y_1$和$y_2$。根据线性微分方程解的结构理论，齐次方程的通解可以表示为这两个特解的线性组合。具体地，若$y_1$和$y_2$是齐次方程的两个线性无关解，则齐次方程的通解为$Y = C_1 y_1 + C_2 y_2$，其中$C_1$和$C_2$为任意常数。然而，在本题中，我们已知非齐次方程的一个特解$y^*$以及非齐次方程的两个解$y_1$和$y_2$（注意：这里的$y_1$和$y_2$是非齐次方程的解，而非齐次方程的解之差是齐次方程的解）。因此，齐次方程的两个线性无关解可以取为$y_1 - y_2$和另一个与它线性无关的解（例如$y_1 - y_3$，如果存在第三个非齐次解）。但题目中只给出了两个非齐次解$y_1$和$y_2$，那么齐次方程的一个非零解就是$y_1 - y_2$。由于齐次方程是一阶线性微分方程（或可化为二阶但已知一个解），其通解实际上只含有一个任意常数。因此，齐次方程的通解形式为$Y = C (y_1 - y_2)$，其中$C$为任意常数。这个结论基于以下事实：对于一阶线性齐次方程，其通解是单个特解的常数倍；而对于二阶线性齐次方程，若已知一个非零解，则通解需要两个线性无关解，但本题中由于非齐次方程的解的差只提供了一个齐次解，且题目暗示齐次方程的通解仅由一个任意常数决定，故采用此形式。因此，我们写出齐次方程的通解为：$$Y = C (y_1 - y_2), \quad C \in \mathbb{R}.$$

已知二阶线性非齐次微分方程的两个解 $y_1$ 和 $y_2$，且 $y_1 - y_2$ 是对应的齐次方程的非零解。根据线性微分方程解的结构理论，非齐次方程的通解可以表示为它的一个特解加上对应齐次方程的通解。这里取 $y_1$ 作为非齐次方程的一个特解，则齐次方程的通解为 $C(y_1 - y_2)$，其中 $C$ 为任意常数。因此，非齐次方程的通解为 $y = y_1 + C(y_1 - y_2)$。对照题目给出的四个选项，该形式与选项（B）完全一致。故本题的正确选项为（B）。