2006年考研数学三第9题

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。根据级数收敛的定义，其部分和数列 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ 存在极限，记 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$，其中 $S$ 为有限常数。由级数收敛的必要条件，通项 $a_n$ 必须趋于零，即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。这一结论源于 $a_n = S_n - S_{n-1}$，当 $n \to \infty$ 时，$S_n$ 和 $S_{n-1}$ 都趋于 $S$，故 $a_n \to 0$。此外，部分和数列 $\{S_n\}$ 是有界数列（因为收敛数列必有界）。这些基本性质是后续推导的基础。

为了排除选项(A)，我们需要构造一个反例，使得条件“级数$\sum a_n$条件收敛”成立，但结论“$\sum |a_n|$收敛”不成立。 取$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，则对应的级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。这是一个交错级数，其通项绝对值$\frac{1}{n}$单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法可知该级数收敛。但它的绝对值级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$是调和级数，发散。因此$\sum a_n$是条件收敛的。 现在检查选项(A)：“若$\sum a_n$条件收敛，则$\sum |a_n|$收敛”。对于上述反例，$\sum a_n$条件收敛，但$\sum |a_n|$发散，所以(A)不一定成立。因此选项(A)被排除。 注意：条件收敛的定义正是级数收敛但绝对值级数发散，所以(A)的断言与条件收敛的定义直接矛盾，反例是显然的。

为了排除选项(B)，我们需要构造一个反例，说明即使条件成立，结论也不一定成立。选项(B)的表述是：若级数$\sum a_n$收敛，则级数$\sum (-1)^n a_n$也收敛。我们取一个具体的数列$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$。首先验证$\sum a_n$是否收敛：$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，这是一个交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件：$\frac{1}{n}$单调递减趋于0，因此$\sum \frac{(-1)^n}{n}$收敛（实际上它收敛到$-\ln 2$）。现在考虑$\sum (-1)^n a_n$：由于$(-1)^n a_n = (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n} = \frac{(-1)^{2n}}{n} = \frac{1}{n}$，所以$\sum (-1)^n a_n = \sum \frac{1}{n}$，这是调和级数，是发散的。因此，对于这个反例，$\sum a_n$收敛，但$\sum (-1)^n a_n$发散，从而说明选项(B)不一定成立。注意：反例中的$a_n$可以是任意满足条件的数列，这里选择简单的交错调和级数项，便于计算和判断收敛性。

为了排除选项(C)，我们需要构造一个反例，使得级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，但级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$发散。 取$a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$是交错级数。由于$\frac{1}{\sqrt{n}}$单调递减趋于0，根据莱布尼茨判别法，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$收敛。 现在考虑$b_n = a_n a_{n+1}$。计算得： $$a_n a_{n+1} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}} = \frac{(-1)^{2n+1}}{\sqrt{n(n+1)}} = -\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}.$$ 由于$\sqrt{n(n+1)} \sim n$（当$n \to \infty$时），所以$b_n \sim -\frac{1}{n}$。而调和级数$\sum \frac{1}{n}$发散，故$\sum b_n$发散（因为$b_n$与$-1/n$同阶，且$-1/n$的级数发散）。 因此，对于这个反例，$\sum a_n$收敛，但$\sum a_n a_{n+1}$发散，从而选项(C)“若$\sum a_n$收敛，则$\sum a_n a_{n+1}$收敛”不一定成立。故排除(C)。

选项(D)为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$收敛。我们需要证明该结论成立。 已知$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$，且$S_n$收敛（即$\lim_{n\to\infty}S_n$存在，记为$S$）。考虑部分和$T_n=\sum_{k=1}^n\frac{a_k+a_{k+1}}{2}$。 将$T_n$展开： $$T_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(a_k+a_{k+1})=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n a_{k+1}\right)=\frac{1}{2}\left(S_n+\sum_{k=2}^{n+1}a_k\right)=\frac{1}{2}\left(S_n+(S_{n+1}-a_1)\right)=\frac{S_n+S_{n+1}-a_1}{2}.$$ 由于$S_n$收敛，设$\lim_{n\to\infty}S_n=S$，则$\lim_{n\to\infty}S_{n+1}=S$。因此 $$\lim_{n\to\infty}T_n=\frac{S+S-a_1}{2}=S-\frac{a_1}{2}.$$ 极限存在且有限，故$T_n$收敛，即级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$收敛。选项(D)正确。 至此，四个选项均已分析完毕：选项(A)、(B)、(C)均不一定成立，而选项(D)必成立，故正确答案为(D)。