2006年考研数学三第8题

已知极限条件 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$ 存在且为1，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。由于分母 $x \to 0$，若分子 $f(x)$ 不趋于0，则极限将不存在（趋于无穷大）。因此，为使极限存在且有限，分子必须趋于0，即 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。又因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，根据连续性的定义，有 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。于是得到 $f(0) = 0$。这一结论是后续利用导数定义求 $f'(0)$ 的基础。

已知极限条件为 $\lim_{h \to 0} \frac{f(h^2)}{h^2} = 1$。为了判断函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的右导数是否存在，我们令 $t = h^2$。由于 $h \to 0$ 时 $h^2 \to 0$，且 $h^2 \geq 0$，因此 $t \to 0^+$。代入原极限得： $$ \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = 1. $$ 根据导数的定义，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的右导数定义为： $$ f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}. $$ 题目中并未直接给出 $f(0)$ 的值，但由极限 $\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = 1$ 可知，当 $t \to 0^+$ 时，$f(t)$ 与 $t$ 是同阶无穷小，因此 $f(0)$ 必须为 $0$（否则极限不存在或不为有限值）。事实上，由极限存在的必要条件，当 $t \to 0^+$ 时，分子 $f(t)$ 必须趋于 $0$，即 $\lim_{t \to 0^+} f(t) = 0$。若 $f$ 在 $x=0$ 处连续（题目隐含或可推导），则 $f(0)=0$。于是右导数公式化为： $$ f'_+(0) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = 1. $$ 因此，右导数 $f'_+(0)$ 存在且等于 $1$。注意，该极限只给出了 $t \to 0^+$ 的信息，无法判断左导数 $f'_-(0)$ 的存在性，故只能得到单侧导数存在。