💡 答案解析
**答案**: （A）。
---
**解析**:
方法一 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x, \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(\xi) \Delta x(x\lt \xi\lt x+\Delta x)$ ．
因为 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，所以 $f^{\prime}(x)$ 单调增加，于是 $0\lt f^{\prime}(x)\lt f^{\prime}(\xi)$ ．
再由 $\Delta x\gt 0$ ，得 $0\lt f^{\prime}(x) \Delta x\lt f^{\prime}(\xi) \Delta x$ ，即 $0\lt \mathrm{d} y\lt \Delta y$ ，应选（ A ）．
方法二 由泰勒公式得
$f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\displaystyle\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}$ ，其中 $\xi$ 介于 $x_{0}$ 与 $x$ 之间，
因为 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，所以 $f(x)-f\left(x_{0}\right) \geqslant f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ，当且仅当 $x=x_{0}$ 时等号成立，故 $\Delta y \geqslant \mathrm{~d} y$ ．
因为 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)\gt 0, \Delta x=x-x_{0}\gt 0$ ，所以 $\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\gt 0$ ，于是 $\Delta y\gt \mathrm{d} y\gt 0$ ，应选（A）。
方法三 $\quad \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}(\xi) \Delta x\left(x_{0}\lt \xi\lt x_{0}+\Delta x\right)$ ，
则
$\Delta y-\mathrm{d} y=\left[f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right] \Delta x=f^{\prime \prime}(\eta)\left(\xi-x_{0}\right) \Delta x\left(x_{0}\lt \eta\lt \xi\right)$,
由 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ 得 $\Delta y-\mathrm{d} y\gt 0$ ，即 $\Delta y\gt \mathrm{d} y$ ，又 $\mathrm{d} y\gt 0$ ，故 $\Delta y\gt \mathrm{d} y\gt 0$ ，应选（A）。
方法四 因为 $f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，所以 $y=f(x)$ 为单调增加的凹函数，如图所示．因为 $\Delta x\gt 0$ ，所以 $\mathrm{d} y=|B C|\gt 0, \Delta y= |B D|\gt |B C|$ ，应选（A）．
📋 详细解题步骤
目标：写出微分和增量的表达式
首先，明确题目中涉及的函数为 $y = f(x)$，并给定自变量在 $x_0$ 处有一个改变量 $\Delta x$。根据微分的定义，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $dy$ 是函数在该点处切线纵坐标的改变量，其表达式为：
$$dy = f'(x_0) \Delta x$$
其中 $f'(x_0)$ 是函数在 $x_0$ 处的导数。
另一方面，函数的增量 $\Delta y$ 是指当自变量从 $x_0$ 变化到 $x_0 + \Delta x$ 时，函数值的实际改变量，其表达式为：
$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$
这两个量之间的关系是：当 $\Delta x \to 0$ 时，$\Delta y$ 与 $dy$ 之差是比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，即 $\Delta y = dy + o(\Delta x)$。因此，微分 $dy$ 是增量 $\Delta y$ 的线性主部。
在本步骤中，我们仅需写出这两个表达式，不需要代入具体函数。后续步骤将根据题目给出的具体函数 $f(x)$ 和点 $x_0$ 进行具体计算。
公式：$$dy = f'(x_0) \Delta x, \quad \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$
提示：牢记微分是增量的线性主部，两者之差是高阶无穷小。
目标：对增量应用拉格朗日中值定理
设函数 $y = f(x)$ 在区间 $[x_0, x_0 + \Delta x]$ 上连续，在开区间 $(x_0, x_0 + \Delta x)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in (x_0, x_0 + \Delta x)$，使得函数在区间端点处的函数值之差等于该点导数与区间长度的乘积，即
$$
f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(\xi) \Delta x.
$$
这里，增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，因此有
$$
\Delta y = f'(\xi) \Delta x.
$$
其中 $\xi$ 是介于 $x_0$ 与 $x_0 + \Delta x$ 之间的某个点，通常可以表示为 $\xi = x_0 + \theta \Delta x$，其中 $\theta \in (0,1)$。这样，增量 $\Delta y$ 就可以用 $f'(\xi)$ 与 $\Delta x$ 的乘积精确表示，而无需近似。这一步骤将函数值的增量转化为导数值与自变量的乘积，为后续的泰勒展开或误差估计提供了基础。
公式：$$\Delta y = f'(\xi) \Delta x, \quad \xi \in (x_0, x_0+\Delta x)$$
提示：注意 $\xi$ 是区间内某点，不能随意指定，且定理要求函数在闭区间连续、开区间可导。
目标：利用二阶导大于零判断导数单调性
已知条件 $f''(x) > 0$ 对所有 $x$ 成立，这意味着函数 $f(x)$ 是严格凸函数。根据微积分基本定理，二阶导数大于零等价于导函数 $f'(x)$ 严格单调递增。
设 $x_0$ 与 $\xi$ 为区间内两点，且 $x_0 < \xi$（题目中隐含了此大小关系，通常 $x_0$ 为区间左端点，$\xi$ 为区间内某点）。由于 $f'(x)$ 单调递增，当自变量增大时，导数值也增大。因此，对于 $x_0 < \xi$，有 $f'(x_0) < f'(\xi)$。
这一不等式在后续步骤中用于比较函数增量或构造拉格朗日中值定理中的导数大小关系。例如，若需要估计 $f(\xi) - f(x_0)$，由拉格朗日中值定理存在 $c \in (x_0, \xi)$ 使得 $f(\xi) - f(x_0) = f'(c)(\xi - x_0)$，而由单调性知 $f'(x_0) < f'(c) < f'(\xi)$，从而可得到函数值差的范围。
在本步骤中，我们直接利用单调性得出 $f'(x_0) < f'(\xi)$，为下一步的积分或不等式放缩提供依据。
公式：f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x) \text{ 严格单调递增} \Rightarrow f'(x_0) < f'(\xi) \ (x_0 < \xi)
提示：牢记二阶导符号决定导数的单调性，而非原函数的单调性。
目标：确定符号并选择正确选项
由前几步已知 $f'(x_0)>0$，且 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，$dy = f'(x_0)\Delta x$。由于 $\Delta x>0$（题目隐含条件，通常考虑增量 $\Delta x$ 为小的正数），因此 $dy = f'(x_0)\Delta x > 0$。又因为 $\Delta y - dy = o(\Delta x)$，当 $\Delta x$ 充分小时，$\Delta y - dy$ 是比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，其符号由 $\Delta x$ 的符号决定。由于 $\Delta x>0$，且 $f'(x_0)>0$，可以证明 $\Delta y > dy$（例如利用拉格朗日中值定理：$\Delta y = f'(\xi)\Delta x$，其中 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 之间，当 $\Delta x$ 充分小时，$f'(\xi)$ 与 $f'(x_0)$ 同号且 $f'(\xi) > f'(x_0)$？实际上，由 $f'(x_0)>0$ 及导数连续性（若 $f'$ 连续）或直接由微分定义，$\Delta y = dy + o(\Delta x)$，且 $o(\Delta x)$ 相对于 $dy$ 是高阶小，故 $\Delta y$ 与 $dy$ 同号且 $|\Delta y| > |dy|$。因此 $0 < dy < \Delta y$。对应选项（A）。
公式：dy = f'(x_0)\Delta x, \quad \Delta y = dy + o(\Delta x)
提示：利用微分定义和拉格朗日中值定理判断 $\Delta y$ 与 $dy$ 的大小关系。