2006年考研数学三第20题

向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式为零。设向量组为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$，构造矩阵 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$，则 $|A| = 0$ 即为线性相关的条件。 首先写出矩阵 $A$： $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & a \end{pmatrix}$$ 计算行列式 $|A|$： $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & a \end{vmatrix}$$ 按第一行展开： $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 4 & a \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & a \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$$ 计算各二阶行列式： $$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 4 & a \end{vmatrix} = 3a - 16$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & a \end{vmatrix} = 2a - 12$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 9 = -1$$ 代入得： $$|A| = (3a - 16) - 2(2a - 12) + 3(-1) = 3a - 16 - 4a + 24 - 3 = -a + 5$$ 令 $|A| = 0$，即 $-a + 5 = 0$，解得 $a = 5$。 因此，当 $a = 5$ 时，向量组线性相关。

当$a=0$时，向量组变为： $$\alpha_1=(1,1,1,1)^\mathrm{T},\quad \alpha_2=(2,2,2,2)^\mathrm{T},\quad \alpha_3=(3,3,3,3)^\mathrm{T},\quad \alpha_4=(4,4,4,4)^\mathrm{T}.$$ 显然，所有向量均成比例，即它们共线。由于$\alpha_1 \neq \mathbf{0}$，故$\alpha_1$本身线性无关，而$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$均可由$\alpha_1$线性表示。具体地： $$\alpha_2 = 2\alpha_1,\quad \alpha_3 = 3\alpha_1,\quad \alpha_4 = 4\alpha_1.$$ 因此，向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$的秩为1，极大线性无关组可取为$\{\alpha_1\}$（也可取$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$中任意非零向量）。所有向量都可由$\alpha_1$线性表示，且表示系数唯一。

当$a=-10$时，将$a=-10$代入矩阵$A$，得 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 考虑前三列构成的子式： $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1 \neq 0,$$ 故前三列线性无关，且矩阵的秩为$3$，因此$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是向量组的一个极大无关组。 下面将$\alpha_4$用$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。设$\alpha_4=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3$，即 $$\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}.$$ 由第4行得$0=0$，恒成立。由第3行得$1=x_3$，由第2行得$1=x_2+x_3$，故$x_2=0$，由第1行得$1=x_1+x_2+x_3$，故$x_1=0$。因此$\alpha_4=0\cdot\alpha_1+0\cdot\alpha_2+1\cdot\alpha_3$，即$\alpha_4=\alpha_3$。 或者通过观察：将矩阵$A$的各列相加，得$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=(1+1+1+1,\,0+1+1+1,\,0+0+1+1,\,0+0+0+0)^T=(4,3,2,0)^T$，并非零向量。实际上，由矩阵结构可直接看出$\alpha_4=\alpha_3$，因为$\alpha_4$与$\alpha_3$的前三个分量相同，第四个分量均为$0$。 因此，极大无关组为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，且$\alpha_4=\alpha_3$。