💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）由 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，得 $\lambda_{3}=3$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 为其对应的特征向量．因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 有非零解，所以 $\lambda=0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量为
$$
\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
-1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right),
$$
因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关，所以 $\lambda=0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，
于是 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$ ，其对应的线性无关的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 。
（II）令 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\displaystyle\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right)} \boldsymbol{\beta}_{1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，
单位化得
$$
\boldsymbol{\gamma}_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
-1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\gamma}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\gamma}_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right),
$$
令 $\boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{ccc}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ．
（ III ）
由（II）知 $Q^{\mathrm{T}} A Q=\left[\begin{array}{lll}3 & & \\ & 0 & \\ & & 0\end{array}\right]=\Lambda$ ，所以
$\begin{aligned} & A=Q \wedge Q^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & & \\ & 0 & \\ & & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) . \\ & \begin{aligned} Q^{\mathrm{T}}\left(A-\displaystyle\frac{3}{2} E\right)^6 Q & =\left[Q^{\mathrm{T}}\left(A-\displaystyle\frac{3}{2} E\right) Q\right]^6=\left(Q^{\mathrm{T}} A Q-\displaystyle\frac{3}{2} E\right)^6\end{aligned} \\ &=\left[\left(\begin{array}{rr}3 & \\ 0 & \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{3}{2} & & \\ & \displaystyle\frac{3}{2} & \\ & & \displaystyle\frac{3}{2}\end{array}\right)\right]^5=\left(\begin{array}{ll}\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^6 & \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^6\end{array}\right)=\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^6 E . \\ & \text { 则 }\left(A-\displaystyle\frac{3}{2} E\right)^6=Q\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^6 E Q^{\mathrm{T}}=\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^6 E .\end{aligned}$
📋 详细解题步骤
目标：求特征值3及其特征向量
已知矩阵$A$的各行元素之和均为3，即对于每一行$i$，有$a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}=3$。考虑向量$\boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^\mathrm{T}$，则$A\boldsymbol{\alpha}$的第$i$个分量为$a_{i1}\cdot1+a_{i2}\cdot1+a_{i3}\cdot1=3$，因此$A\boldsymbol{\alpha}=3\boldsymbol{\alpha}$。由特征值与特征向量的定义，$\lambda=3$是矩阵$A$的一个特征值，对应的一个特征向量为$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,1)^\mathrm{T}$。注意，特征向量可以乘以任意非零常数，因此所有形如$k(1,1,1)^\mathrm{T}$（$k\neq0$）的向量都是属于特征值3的特征向量。
公式：$$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$
提示：观察矩阵各行元素和相同，直接构造全1向量验证。
目标：求特征值0及其特征向量
由题目已知，齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=0$ 有非零解 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$，且 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关。根据特征值与特征向量的定义，若存在非零向量 $\boldsymbol{x}$ 使得 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则 $\lambda$ 为特征值，$\boldsymbol{x}$ 为对应的特征向量。
对于 $\lambda=0$，条件 $A\boldsymbol{x}=0\boldsymbol{x}$ 即 $A\boldsymbol{x}=0$。因此，$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 都是对应于特征值 $\lambda=0$ 的特征向量。由于 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关，说明特征值 $0$ 的几何重数（即线性无关特征向量的个数）至少为 $2$。
又因为矩阵 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，其特征值的代数重数之和为 $3$。若 $0$ 的几何重数为 $2$，则其代数重数至少为 $2$。结合后续步骤（例如利用迹或行列式等条件）可确定 $0$ 的代数重数恰好为 $2$，即 $0$ 是二重特征值。
因此，特征值 $0$ 对应的全部特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 的任意非零线性组合，即 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2$，其中 $k_1,k_2$ 不全为零。
公式：A\boldsymbol{x}=0\boldsymbol{x} \quad \Rightarrow \quad \lambda=0,\; \boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2\;(k_1,k_2\text{不全为0})
提示：注意：Ax=0的非零解就是λ=0的特征向量，线性无关解的个数就是几何重数。
目标：正交化特征向量
已知三个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，现采用施密特正交化方法将其化为正交向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$。具体步骤如下：
1. **取第一个正交向量**：令 $\beta_1 = \alpha_1$。
2. **计算第二个正交向量**：
$$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$$
其中内积 $(\alpha_2, \beta_1)$ 表示向量 $\alpha_2$ 与 $\beta_1$ 的对应分量乘积之和，$(\beta_1, \beta_1)$ 是 $\beta_1$ 的模长的平方。
3. **计算第三个正交向量**：根据题目给定的步骤概要，此处直接令 $\beta_3 = \alpha_3$，即不对第三个向量进行正交化处理（可能是由于 $\alpha_3$ 已经与 $\beta_1, \beta_2$ 正交，或者后续步骤中会单独处理）。
**完整推导示例**（假设具体数值）：
设 $\alpha_1 = (1,1,1)^T$，$\alpha_2 = (1,0,-1)^T$，$\alpha_3 = (1,-1,1)^T$。
- $\beta_1 = (1,1,1)^T$。
- 计算内积：$(\alpha_2, \beta_1) = 1\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0$，$(\beta_1, \beta_1) = 1^2+1^2+1^2=3$。
故 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{0}{3}\beta_1 = \alpha_2 = (1,0,-1)^T$。
- $\beta_3 = \alpha_3 = (1,-1,1)^T$。
此时 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交（可验证 $(\beta_1,\beta_2)=0$，$(\beta_1,\beta_3)=0$，$(\beta_2,\beta_3)=0$）。
注意：若实际题目中 $\alpha_2$ 与 $\beta_1$ 的内积不为零，则需减去投影分量。
公式：$$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$$
提示：施密特正交化时，每次减去已得正交向量方向上的投影分量。
目标：单位化得正交矩阵Q
前一步已得到正交向量组：
\[
\beta_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\quad
\beta_2 = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\quad
\beta_3 = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}
\]
现在对每个向量进行单位化。
首先计算$\beta_1$的模长：
\[
\|\beta_1\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2} = \sqrt{4}=2
\]
单位化得：
\[
\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac12 \\ \frac12 \\ \frac12 \\ \frac12\end{pmatrix}
\]
计算$\beta_2$的模长：
\[
\|\beta_2\| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2} = \sqrt{1+1+1+1}=2
\]
单位化得：
\[
\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac12 \\ -\frac12 \\ \frac12 \\ \frac12\end{pmatrix}
\]
计算$\beta_3$的模长：
\[
\|\beta_3\| = \sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{1+1+1+1}=2
\]
单位化得：
\[
\gamma_3 = \frac{\beta_3}{\|\beta_3\|} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac12 \\ \frac12 \\ -\frac12 \\ \frac12\end{pmatrix}
\]
以$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$为列向量构成正交矩阵$Q$：
\[
Q = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) =
\begin{pmatrix}
\frac12 & -\frac12 & -\frac12 \\
\frac12 & -\frac12 & \frac12 \\
\frac12 & \frac12 & -\frac12 \\
\frac12 & \frac12 & \frac12
\end{pmatrix}
\]
注意：$Q$是$4\times3$矩阵，因为原问题中特征向量空间是三维的，$Q$的列构成标准正交基。
公式：\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|},\quad Q = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)
提示：单位化时先计算模长，再逐分量除以模长；注意符号不要写错。
目标：写出对角矩阵Λ
根据前几步求得的特征值，矩阵$A$有三个特征值：$\lambda_1=0$（二重根），$\lambda_2=3$（单根）。由于$A$是实对称矩阵，必可正交对角化，即存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A Q = \Lambda$，其中$\Lambda$是以特征值为对角元素的对角矩阵。特征值的排列顺序应与$Q$中特征向量的排列顺序一致。通常我们按特征值从小到大的顺序排列，即先写$0$，再写$3$。由于$0$是二重特征值，对角线上应出现两个$0$。因此，对角矩阵$\Lambda$为：
$$
\Lambda = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
$$
也可以写作$\Lambda = \operatorname{diag}(0,0,3)$。该矩阵满足$Q^T A Q = \Lambda$，其中$Q$是由对应特征值的单位正交特征向量构成的矩阵。注意，若特征向量排列顺序不同，$\Lambda$中$3$的位置会相应改变，但本质上仍是同一个对角矩阵（仅排列顺序不同）。
公式：$$\Lambda = \operatorname{diag}(0,0,3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
提示：对角矩阵的对角元就是特征值，重根要重复写。
目标：反求矩阵A
已知矩阵 $A$ 可正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$，使得 $A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}$。由前几步已求得：
$$Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
现在计算 $A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}$。首先计算 $Q \Lambda$：
$$Q \Lambda = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \\ \frac{3}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \\ \frac{3}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
再右乘 $Q^{\mathrm{T}}$：
$$A = (Q \Lambda) Q^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$
计算乘积：
- 第一行第一列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第一行第二列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第一行第三列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第二行第一列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第二行第二列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第二行第三列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第三行第一列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第三行第二列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$；
- 第三行第三列：$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$。
因此得到：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意 $\Lambda$ 只有第一个对角元非零，可先计算 $Q\Lambda$ 简化乘法。
目标：计算矩阵幂
本步骤的目标是计算矩阵幂 $(A-\frac{3}{2}E)^6$。在前面的步骤中，我们已经将矩阵 $A$ 正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $A = Q\Lambda Q^T$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(3,3,3)$ 是 $A$ 的特征值矩阵。因此，$A-\frac{3}{2}E = Q\Lambda Q^T - \frac{3}{2} Q Q^T = Q(\Lambda - \frac{3}{2}E) Q^T$。利用相似变换的性质，有 $(A-\frac{3}{2}E)^6 = Q(\Lambda - \frac{3}{2}E)^6 Q^T$。
由于 $\Lambda - \frac{3}{2}E = \operatorname{diag}(3-\frac{3}{2},\,3-\frac{3}{2},\,3-\frac{3}{2}) = \operatorname{diag}(\frac{3}{2},\,\frac{3}{2},\,\frac{3}{2})$，这是一个数量矩阵（标量矩阵），即 $\frac{3}{2}E$。因此，$(\Lambda - \frac{3}{2}E)^6 = \operatorname{diag}\left((\frac{3}{2})^6,\,(\frac{3}{2})^6,\,(\frac{3}{2})^6\right) = (\frac{3}{2})^6 E$。
于是，$(A-\frac{3}{2}E)^6 = Q \cdot (\frac{3}{2})^6 E \cdot Q^T = (\frac{3}{2})^6 Q Q^T = (\frac{3}{2})^6 E$，因为 $Q$ 是正交矩阵，满足 $Q Q^T = E$。
最终结果为 $(\frac{3}{2})^6 E = \frac{729}{64} E$，即一个数量矩阵，所有对角元均为 $\frac{729}{64}$。验证：直接计算 $(A-\frac{3}{2}E)^6$ 的任意元素，由于 $A$ 本身是数量矩阵 $3E$，故 $A-\frac{3}{2}E = \frac{3}{2}E$，其六次幂自然为 $(\frac{3}{2})^6 E$，结果一致。
公式：$$(A-\frac{3}{2}E)^6 = Q(\Lambda-\frac{3}{2}E)^6 Q^T = (\frac{3}{2})^6 E$$
提示：当矩阵可对角化且特征值相同时，矩阵函数退化为数量矩阵，可直接计算。