目标：求Y的分布函数F_Y(y)的分段表达式
已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，且 $Y = X^2$。我们需要求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)$。
由于 $X$ 的取值范围是 $(-1, 2)$，$Y = X^2$ 的取值范围是 $[0, 4)$。根据 $y$ 的不同取值，分以下四种情况讨论：
**情况1：$y < 0$**
当 $y < 0$ 时，$X^2 \leq y$ 不可能成立，因为平方非负。所以 $F_Y(y) = 0$。
**情况2：$0 \leq y < 1$**
此时 $X^2 \leq y$ 等价于 $-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}$。但 $X$ 的密度函数只在 $(-1,2)$ 上非零，且 $-\sqrt{y} \in (-1,0)$，$\sqrt{y} \in [0,1)$，因此积分区间为 $[-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$ 与 $(-1,2)$ 的交集，即 $[-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$（因为 $-\sqrt{y} \geq -1$ 且 $\sqrt{y} \leq 1 < 2$）。于是
$$F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} - (-\sqrt{y})) = \frac{2\sqrt{y}}{3}.$$
**情况3：$1 \leq y < 4$**
此时 $X^2 \leq y$ 等价于 $-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}$。注意 $-\sqrt{y} \leq -1$（因为 $y \geq 1$），而 $X$ 的密度在 $x < -1$ 时为0，所以积分下限实际为 $-1$；上限 $\sqrt{y} \in [1,2)$，仍在 $X$ 的取值范围内。因此积分区间为 $[-1, \sqrt{y}]$，于是
$$F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} - (-1)) = \frac{\sqrt{y} + 1}{3}.$$
**情况4：$y \geq 4$**
当 $y \geq 4$ 时，$X^2 \leq y$ 对于所有 $X \in (-1,2)$ 都成立（因为 $X^2 < 4 \leq y$），所以 $F_Y(y) = 1$。
综上，$Y$ 的分布函数为
$$F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \dfrac{2\sqrt{y}}{3}, & 0 \leq y < 1 \\ \dfrac{\sqrt{y} + 1}{3}, & 1 \leq y < 4 \\ 1, & y \geq 4 \end{cases}.$$
公式：F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \dfrac{2\sqrt{y}}{3}, & 0 \leq y < 1 \\ \dfrac{\sqrt{y} + 1}{3}, & 1 \leq y < 4 \\ 1, & y \geq 4 \end{cases}
提示：画数轴确定X的取值范围，根据y的大小调整积分上下限。
目标：对分布函数求导得Y的概率密度f_Y(y)
已知分布函数$F_Y(y)$的分段表达式为：
$$
F_Y(y) =
\begin{cases}
0, & y < 0, \\
\frac{1}{2}y, & 0 \leq y < 1, \\
1 - \frac{1}{2}e^{-(y-1)}, & y \geq 1.
\end{cases}
$$
概率密度函数$f_Y(y)$是分布函数$F_Y(y)$的导数（在可导点处）。我们需要对每一段分别求导。
1. 当$y < 0$时，$F_Y(y)=0$，导数为$f_Y(y)=0$。
2. 当$0 \leq y < 1$时，$F_Y(y)=\frac{1}{2}y$，求导得$f_Y(y)=\frac{1}{2}$。
3. 当$y \geq 1$时，$F_Y(y)=1 - \frac{1}{2}e^{-(y-1)}$，求导得
$$f_Y(y) = \frac{d}{dy}\left[1 - \frac{1}{2}e^{-(y-1)}\right] = 0 - \frac{1}{2}e^{-(y-1)} \cdot (-1) = \frac{1}{2}e^{-(y-1)}.$$
注意：在$y=0$和$y=1$处，分布函数$F_Y(y)$不可导（因为在这些点处可能存在跳跃或尖点），因此概率密度函数在这些点处可以任意定义，通常我们定义$f_Y(y)$在$y=0$和$y=1$处的值为0或保持左右极限，但不会影响概率计算。因此，最终的概率密度函数为：
$$
f_Y(y) =
\begin{cases}
0, & y < 0, \\
\frac{1}{2}, & 0 \leq y < 1, \\
\frac{1}{2}e^{-(y-1)}, & y \geq 1.
\end{cases}
$$
验证：对$f_Y(y)$在整个实数轴上积分，应等于1。
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) dy = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} dy + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2}e^{-(y-1)} dy = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.
$$
结果正确。
公式：f_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq y < 1, \\ \frac{1}{2}e^{-(y-1)}, & y \geq 1. \end{cases}
提示：求导时注意分段点处不可导，密度函数在分段点可任意定义，不影响概率。
目标：计算E(X)、E(X^2)、E(X^3)
已知随机变量$X$的概率密度函数为：
$$f_X(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}, & 0
公式：$$E(X^k)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^k f_X(x) dx$$
提示：分段积分时注意每个区间对应的密度函数值，积分上下限不要写反。
目标：计算协方差Cov(X,Y)
由协方差公式 $\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$，已知 $Y = X^2$，故 $\operatorname{Cov}(X,Y) = E(X \cdot X^2) - E(X)E(X^2) = E(X^3) - E(X)E(X^2)$。
根据第三步已求得的期望值：
- $E(X) = 0$
- $E(X^2) = \frac{1}{3}$
- $E(X^3) = 0$
代入公式得：
$$
\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 - 0 \times \frac{1}{3} = 0
$$
因此，协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Y) = E(X^3) - E(X)E(X^2)$$
提示：注意利用对称性：标准均匀分布下奇次幂期望为0，简化计算。
目标：将F(-1/2,4)转化为概率并计算
由二维随机变量分布函数的定义，有
$$F(-\frac{1}{2},4)=P\left(X\leq -\frac{1}{2}, Y\leq 4\right).$$
已知$Y=X^2$，因此事件$Y\leq 4$等价于$X^2\leq 4$，即$-2\leq X\leq 2$。于是
$$P\left(X\leq -\frac{1}{2}, Y\leq 4\right)=P\left(X\leq -\frac{1}{2}, -2\leq X\leq 2\right).$$
两个条件的交集为$X$同时满足$X\leq -\frac{1}{2}$和$-2\leq X\leq 2$，即$-2\leq X\leq -\frac{1}{2}$。因此
$$F(-\frac{1}{2},4)=P(-2\leq X\leq -\frac{1}{2}).$$
根据题目条件，$X$服从区间$[-2,2]$上的均匀分布，其概率密度函数为
$$f_X(x)=\begin{cases}
\frac{1}{4}, & -2\leq x\leq 2,\\
0, & \text{其他}.
\end{cases}$$
于是
$$P(-2\leq X\leq -\frac{1}{2})=\int_{-2}^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[-\frac{1}{2}-(-2)\right] = \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{8}.$$
因此，$F(-\frac{1}{2},4)=\frac{3}{8}$。
最终答案验证：由于$X$在$[-2,2]$上均匀分布，区间$[-2,-\frac{1}{2}]$的长度为$\frac{3}{2}$，占整个区间长度4的$\frac{3}{8}$，结果合理。
公式：$$F(-\frac{1}{2},4)=P(-2\leq X\leq -\frac{1}{2})=\int_{-2}^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{4}\,dx=\frac{3}{8}$$
提示：注意将事件转化为X的等价范围时，要同时考虑上下界。