2007年考研数学三第13题

首先，观察题目所给的函数关系：$z = f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$。这是一个复合函数，其中自变量 $x$ 和 $y$ 通过两个中间变量进入函数 $f$。为了简化后续的偏导数计算，我们引入两个新的中间变量： 令 $u = \frac{y}{x}$，$v = \frac{x}{y}$。 则原函数可以表示为 $z = f(u, v)$，其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数。 注意，$u$ 和 $v$ 并不是独立的，它们之间满足关系 $u \cdot v = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y} = 1$，即 $v = \frac{1}{u}$。这一关系在后续求偏导时可能会用到，但在本步骤中我们只需完成变量替换。 引入中间变量的目的是将复杂的复合函数分解为外层函数 $f(u,v)$ 和内层函数 $u(x,y), v(x,y)$，从而可以利用链式法则分别求 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。 至此，我们完成了第一步：设 $u = y/x$，$v = x/y$，则 $z = f(u, v)$。

已知 $z = f(u, v)$，其中 $u = \frac{y}{x}$，$v = \frac{x}{y}$。要求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，根据多元复合函数的链式法则，有： $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}.$$ 记 $f_u = \frac{\partial f}{\partial u}$，$f_v = \frac{\partial f}{\partial v}$。 首先计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$。由于 $u = y \cdot x^{-1}$，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导： $$\frac{\partial u}{\partial x} = y \cdot (-1) x^{-2} = -\frac{y}{x^2}.$$ 接着计算 $\frac{\partial v}{\partial x}$。由于 $v = \frac{1}{y} \cdot x$，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导： $$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 = \frac{1}{y}.$$ 将上述结果代入链式法则： $$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) + f_v \cdot \left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{y}{x^2} f_u + \frac{1}{y} f_v.$$ 因此，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 的表达式为 $-\frac{y}{x^2} f_u + \frac{1}{y} f_v$。

本步骤的目标是计算函数 $z = f(u, v)$ 对 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$，其中 $u = \frac{y}{x}$，$v = \frac{x}{y}$。根据多元复合函数的链式法则，$z$ 对 $y$ 的偏导数等于 $z$ 对中间变量 $u$ 和 $v$ 的偏导数分别乘以 $u$ 和 $v$ 对 $y$ 的偏导数之和，即： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}. $$ 为方便书写，记 $f_u = \frac{\partial f}{\partial u}$，$f_v = \frac{\partial f}{\partial v}$。接下来分别计算 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial y}$。 首先，$u = \frac{y}{x}$，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x}. $$ 其次，$v = \frac{x}{y}$，同样将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial v}{\partial y} = x \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( y^{-1} \right) = x \cdot (-1) y^{-2} = -\frac{x}{y^2}. $$ 将上述结果代入链式法则公式中，得到： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = f_u \cdot \frac{1}{x} + f_v \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) = \frac{1}{x} f_u - \frac{x}{y^2} f_v. $$ 因此，$z$ 对 $y$ 的偏导数表达式为 $\frac{1}{x} f_u - \frac{x}{y^2} f_v$。注意，这里的 $f_u$ 和 $f_v$ 仍然是关于 $u$ 和 $v$ 的函数，而 $u$ 和 $v$ 又依赖于 $x$ 和 $y$，因此最终结果中应保留 $f_u$ 和 $f_v$ 的形式，除非题目给出 $f$ 的具体表达式。

将前一步求得的偏导数结果代入表达式 $x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y}$ 中。已知： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} f_u + \frac{1}{y} f_v, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} f_u - \frac{x}{y^2} f_v. $$ 代入得： $$ \begin{aligned} x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} &= x\left( -\frac{y}{x^2} f_u + \frac{1}{y} f_v \right) - y\left( \frac{1}{x} f_u - \frac{x}{y^2} f_v \right) \\[4pt] &= -\frac{y}{x} f_u + \frac{x}{y} f_v - \frac{y}{x} f_u + \frac{x}{y} f_v \\[4pt] &= -\frac{2y}{x} f_u + \frac{2x}{y} f_v. \end{aligned} $$ 注意：第一项 $x \cdot \left(-\frac{y}{x^2} f_u\right) = -\frac{y}{x} f_u$，第二项 $x \cdot \frac{1}{y} f_v = \frac{x}{y} f_v$；第三项 $-y \cdot \frac{1}{x} f_u = -\frac{y}{x} f_u$，第四项 $-y \cdot \left(-\frac{x}{y^2} f_v\right) = \frac{x}{y} f_v$。合并同类项后得到上述结果。

在第四步中，我们已经得到了两个偏导数表达式： $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} f_u + \frac{1}{y} f_v$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} f_u - \frac{x}{y^2} f_v$$ 现在需要计算 $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}$。将上述偏导数代入： $$x \frac{\partial z}{\partial x} = x \left( -\frac{y}{x^2} f_u + \frac{1}{y} f_v \right) = -\frac{y}{x} f_u + \frac{x}{y} f_v$$ $$y \frac{\partial z}{\partial y} = y \left( \frac{1}{x} f_u - \frac{x}{y^2} f_v \right) = \frac{y}{x} f_u - \frac{x}{y} f_v$$ 将两项相加： $$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \left( -\frac{y}{x} f_u + \frac{x}{y} f_v \right) + \left( \frac{y}{x} f_u - \frac{x}{y} f_v \right)$$ 合并同类项： - 对于 $f_u$ 项：$-\frac{y}{x} f_u + \frac{y}{x} f_u = 0$ - 对于 $f_v$ 项：$\frac{x}{y} f_v - \frac{x}{y} f_v = 0$ 因此，最终结果为 $0$。 验证：由于 $z = f\left( \frac{y}{x}, \frac{x}{y} \right)$ 是零次齐次函数（因为自变量 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{x}{y}$ 在 $x,y$ 同时缩放时保持不变），根据欧拉齐次函数定理，必有 $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$，与计算结果一致。 故答案为： $$\boxed{0}$$