2007年考研数学三第14题

原方程为齐次微分方程，其形式为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^3$。为了将其化为可分离变量方程，我们引入新变量 $u = \frac{y}{x}$。于是有 $y = ux$。对 $y$ 关于 $x$ 求导，利用乘积法则得：$$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.$$ 将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{y}{x}$ 的表达式代入原方程：$$u + x\frac{du}{dx} = u - \frac{1}{2}u^3.$$ 两边同时减去 $u$，得到：$$x\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}u^3.$$ 这样就成功将原齐次方程转化为关于 $u$ 和 $x$ 的可分离变量方程。

在第一步中，我们通过变量代换 $u = y/x$ 将原微分方程化简为 $x \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}u^3$。现在我们需要进行分离变量操作，即将含有 $u$ 的项和含有 $x$ 的项分别移到等号两侧。 原方程为： $$x \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}u^3$$ 首先，将 $x$ 除到右边，将 $u^3$ 除到左边，但更规范的做法是：两边同时除以 $x$ 和 $u^3$（假设 $u \neq 0$），得到： $$\frac{1}{u^3} \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2x}$$ 然后两边乘以 $dx$，得到： $$\frac{1}{u^3} du = -\frac{1}{2x} dx$$ 为了与常见形式一致，我们将左边改写为 $u^{-3} du$，右边改写为 $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$。但题目步骤概要中给出的形式是 $-2/u^3 du = dx/x$，这可以通过两边同时乘以 $-2$ 得到： $$-\frac{2}{u^3} du = \frac{dx}{x}$$ 因此，分离变量后的结果为： $$-\frac{2}{u^3} du = \frac{dx}{x}$$ 这样，左边只含有 $u$ 和 $du$，右边只含有 $x$ 和 $dx$，为下一步积分做好了准备。

对分离变量后的方程 $ -\frac{2}{u^3} \, du = \frac{1}{x} \, dx $ 两边同时积分。左边对 $u$ 积分，右边对 $x$ 积分： $$ \int -\frac{2}{u^3} \, du = \int \frac{1}{x} \, dx $$ 计算左边积分：将 $ -\frac{2}{u^3} $ 写成 $ -2 u^{-3} $，则 $$ \int -2 u^{-3} \, du = -2 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C_1 = u^{-2} + C_1 = \frac{1}{u^2} + C_1 $$ （注意：$-2 \cdot \frac{1}{-2} = 1$，因此积分结果为 $u^{-2}$。） 计算右边积分： $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_2 $$ 将两个积分结果相等，并合并常数 $C_1$ 和 $C_2$ 为一个任意常数 $C$： $$ \frac{1}{u^2} = \ln|x| + C $$ 两边取倒数，得到 $u^2$ 的表达式： $$ u^2 = \frac{1}{\ln|x| + C} $$ 注意：这里 $C$ 为任意常数，且需保证分母 $\ln|x| + C \neq 0$。此即为原微分方程的通解（隐式形式）。

在上一节中，我们通过变量代换 $u = \frac{y}{x}$ 将原微分方程化为可分离变量方程，并求解得到关于 $u$ 的关系式：$u^2 = \frac{1}{\ln|x| + C}$，其中 $C$ 为任意常数。现在需要将 $u$ 代回原变量 $y$，即利用 $u = \frac{y}{x}$ 进行回代。 将 $u = \frac{y}{x}$ 代入 $u^2 = \frac{1}{\ln|x| + C}$，得到： $$\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{1}{\ln|x| + C}.$$ 两边同时乘以 $x^2$（注意 $x \neq 0$，因为原方程中 $x$ 出现在分母），得到： $$y^2 = \frac{x^2}{\ln|x| + C}.$$ 为了得到 $y$ 关于 $x$ 的显式表达式，对等式两边开平方，注意平方根应取正负号，因此： $$y = \pm \frac{x}{\sqrt{\ln|x| + C}}.$$ 这就是原微分方程的通解，其中 $C$ 为任意常数。需要特别注意的是，分母中的 $\ln|x| + C$ 必须大于零，以保证平方根有意义。此外，$x = 0$ 处方程可能无定义，因此通解通常定义在 $x \neq 0$ 且 $\ln|x| + C > 0$ 的区间上。

我们已经得到通解形式为 $y = \frac{1}{\sqrt{\ln x + C}}$。现在利用初始条件 $x=1, y=1$ 来确定常数 $C$。将 $x=1$ 和 $y=1$ 代入通解表达式： $$1 = \frac{1}{\sqrt{\ln 1 + C}}$$ 由于 $\ln 1 = 0$，上式化为： $$1 = \frac{1}{\sqrt{C}}$$ 两边取倒数得 $\sqrt{C} = 1$，因此 $C = 1$。 所以满足初始条件的特解为 $y = \frac{1}{\sqrt{\ln x + 1}}$。