2007年考研数学三第15题

已知矩阵 $A$ 为： $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 要求 $A^2 = A \times A$。根据矩阵乘法规则，若 $C = A \times A$，则 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ 等于 $A$ 的第 $i$ 行与 $A$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和： $$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{4} a_{ik} \, a_{kj} $$ 由于 $A$ 中非零元素很少，我们可以逐元素计算。 首先，观察 $A$ 的结构：第1行只有第3列为1，即 $a_{13}=1$；第2行只有第4列为1，即 $a_{24}=1$；第3、4行全为0。 计算 $c_{11}$：$c_{11} = a_{11}a_{11} + a_{12}a_{21} + a_{13}a_{31} + a_{14}a_{41} = 0\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0$。 类似地，$c_{12}=0$，$c_{13}=0$，$c_{14}=0$。 计算 $c_{21}$：$c_{21} = a_{21}a_{11} + a_{22}a_{21} + a_{23}a_{31} + a_{24}a_{41} = 0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot0 = 0$。 类似地，$c_{22}=0$，$c_{23}=0$，$c_{24}=0$。 计算 $c_{31}$：$c_{31} = a_{31}a_{11} + a_{32}a_{21} + a_{33}a_{31} + a_{34}a_{41} = 0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0$。 由于第3行全为0，所以 $c_{31}=c_{32}=c_{33}=c_{34}=0$。 同理，第4行全为0，所以 $c_{41}=c_{42}=c_{43}=c_{44}=0$。 因此，$A^2$ 是一个 $4 \times 4$ 的零矩阵，即： $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 注意：题目给出的步骤概要中写的是 $A^2 = [[0,0,1,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]$，这实际上是 $A$ 本身，而非 $A^2$。正确的计算结果表明 $A^2$ 是零矩阵。

已知矩阵 $A$ 为 $4 \times 4$ 矩阵，且已求得 $A^2$ 的表达式。本步骤需要计算 $A^3 = A^2 \cdot A$。 设 $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。 计算 $A^3$ 时，将 $A^2$ 与 $A$ 相乘： $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 根据矩阵乘法规则，结果矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $A^2$ 的第 $i$ 行与 $A$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。 首先计算第一行各列： - 第1列：$(0 \times 0) + (0 \times 1) + (0 \times 0) + (1 \times 0) = 0$。 - 第2列：$(0 \times 0) + (0 \times 0) + (0 \times 1) + (1 \times 0) = 0$。 - 第3列：$(0 \times 0) + (0 \times 0) + (0 \times 0) + (1 \times 1) = 1$。 - 第4列：$(0 \times 0) + (0 \times 0) + (0 \times 0) + (1 \times 0) = 0$。 所以第一行结果为 $(0,0,1,0)$。 第二行全为0，因为 $A^2$ 的第二行全为0，故乘积结果第二行全为0。 第三行全为0，同理。 第四行全为0，同理。 因此， $$A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 注意：题目给出的步骤概要中 $A^3$ 的第一行第四列为1，但根据实际矩阵乘法，正确结果应为第一行第三列为1。此处以正确计算为准。

已知矩阵 $A^3$ 的具体形式为： $$A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 该矩阵中，只有第1行第4列的元素为1，其余所有元素均为0。矩阵的秩定义为矩阵中非零子式的最高阶数，也等于矩阵行向量组的秩（即极大线性无关组中向量的个数）。观察矩阵的行向量： - 第1行：$(0,0,0,1)$，是非零行向量； - 第2行：$(0,0,0,0)$，是零向量； - 第3行：$(0,0,0,0)$，是零向量； - 第4行：$(0,0,0,0)$，是零向量。 显然，非零行只有1行，且该行向量本身线性无关（单个非零向量必然线性无关），因此行向量组的秩为1。同理，列向量中只有第4列非零，列向量组的秩也为1。所以矩阵 $A^3$ 的秩为1。 最终答案验证：根据矩阵秩的定义，$A^3$ 中非零子式的最高阶数为1（例如取第1行第4列元素构成的1阶子式值为1，而任何2阶子式至少包含一个零行或零列，故均为0），因此秩为1。