2007年考研数学三第16题

首先，在平面直角坐标系中画出正方形 $D$，其顶点为 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$，即 $0 \le x \le 1$，$0 \le y \le 1$。 条件 $|x-y| < \frac{1}{2}$ 等价于 $-\frac{1}{2} < x-y < \frac{1}{2}$，即 $y-\frac{1}{2} < x < y+\frac{1}{2}$，或者写成 $x-\frac{1}{2} < y < x+\frac{1}{2}$。这表示两条平行直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 和 $y = x - \frac{1}{2}$ 之间的带状区域。 现在，在正方形 $D$ 内画出这两条直线： - 直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 与正方形左边 $x=0$ 交于 $(0,\frac{1}{2})$，与上边 $y=1$ 交于 $(\frac{1}{2},1)$。 - 直线 $y = x - \frac{1}{2}$ 与正方形下边 $y=0$ 交于 $(\frac{1}{2},0)$，与右边 $x=1$ 交于 $(1,\frac{1}{2})$。 因此，满足条件的区域是正方形 $D$ 被这两条直线截出的中间带状部分。该区域是一个六边形（实际上是一个平行四边形去掉两个小三角形，但更简单的方法是将其视为正方形减去两个全等的直角三角形）。 计算面积：正方形 $D$ 的面积为 $1 \times 1 = 1$。两个不满足条件的三角形区域分别位于正方形的左上角和右下角： - 左上角三角形：由直线 $y = x + \frac{1}{2}$、$x=0$、$y=1$ 围成，直角边长为 $\frac{1}{2}$，面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。 - 右下角三角形：由直线 $y = x - \frac{1}{2}$、$y=0$、$x=1$ 围成，同样面积为 $\frac{1}{8}$。 因此，所求区域面积为 $1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$。 另一种方法：直接计算带状区域在正方形内的面积。带状区域可以看作一个平行四边形，其底边（沿 $x$ 方向）长度为 $1$，高（垂直于直线方向）为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，但需注意边界截断。更直接的是用积分： $$\text{面积} = \int_{0}^{1} \left[ \min(1, x+\frac{1}{2}) - \max(0, x-\frac{1}{2}) \right] dx$$ 分段计算可得同样结果 $\frac{3}{4}$。 综上，满足 $|x-y|<\frac{1}{2}$ 的区域面积为 $\frac{3}{4}$。

已知正方形面积为1，其边长为1。不满足条件的区域由两个全等的直角三角形组成，每个三角形的两条直角边长度均为$\frac{1}{2}$。因此每个三角形的面积为$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。两个三角形总面积$2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$。带状区域（满足条件的区域）的面积为正方形面积减去两个三角形面积，即$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。因此，所求带状区域面积为$\frac{3}{4}$。

根据前几步的分析与计算，我们已经确定了随机变量$X$和$Y$在区域$D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$上服从均匀分布，且事件$\{|X-Y|<\frac{1}{2}\}$对应于正方形内满足$|x-y|<\frac{1}{2}$的点集。该区域由两条直线$y=x+\frac{1}{2}$和$y=x-\frac{1}{2}$所夹而成。在单位正方形$[0,1]\times[0,1]$中，该区域是一个六边形（或等价地，正方形减去两个等腰直角三角形）。具体地，当$0\le x\le \frac{1}{2}$时，$y$的取值范围是从$0$到$x+\frac{1}{2}$；当$\frac{1}{2}\le x\le 1$时，$y$的取值范围是从$x-\frac{1}{2}$到$1$。因此，所求概率等于该区域面积与单位正方形面积之比。单位正方形面积为$1$，而满足条件的区域面积可以通过积分计算： $$\text{Area}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)dx$$ 计算第一个积分： $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)dx=\left[\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$ 计算第二个积分： $$\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-x+\frac{1}{2}\right)dx=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(\frac{3}{2}-x\right)dx=\left[\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x^2\right]_{\frac{1}{2}}^{1}$$ 代入上限$x=1$：$\frac{3}{2}\cdot1-\frac{1}{2}\cdot1^2=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$；代入下限$x=\frac{1}{2}$：$\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$。因此第二个积分值为$1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$。 两个积分之和为$\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。由于正方形面积为$1$，故概率$P\{|X-Y|<\frac{1}{2}\}=\frac{3}{4}$。 验证：也可以从反面考虑，不满足条件的区域是两个等腰直角三角形，每个直角边长为$\frac{1}{2}$，面积各为$\frac{1}{8}$，总面积为$\frac{1}{4}$，因此满足条件的面积为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，结果一致。