2007年考研数学三第17题
📝 题目
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 附近的凹凸性。
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
当 $x=1$ 时，$y=1$ ． $y \ln y-x+y=0$ 两边对 $x$ 求导数，得 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \ln y+\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-1+\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ ，解得 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\displaystyle\frac{1}{2+\ln y}$ ， $y^{\prime \prime}=-\displaystyle\frac{1}{y(2+\ln y)^{2}} \cdot \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=-\displaystyle\frac{1}{y(2+\ln y)^{3}}$, 因为 $y^{\prime \prime}(1)=-\displaystyle\frac{1}{8}\lt 0$ ，又因为 $y^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=1$ 的邻域内连续，所以由极限保号性，在 $x=1$ 的邻域内 $y^{\prime \prime}\lt 0$ ，故 $y=y(x)$ 在 $(1,1)$ 附近上凸。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证点(1,1)在曲线上
我们需要验证点 $(1,1)$ 是否在曲线 $y \ln y - x + y = 0$ 上。将 $x = 1$ 和 $y = 1$ 代入方程的左端，计算如下：
首先，计算 $y \ln y$ 部分：当 $y = 1$ 时，$\ln 1 = 0$，所以 $y \ln y = 1 \times 0 = 0$。
接着，代入 $-x$ 项：$-x = -1$。
然后，代入 $+y$ 项：$+y = +1$。
将这三部分相加：$0 + (-1) + 1 = 0$。
因此，左端等于 $0$，与方程右端 $0$ 相等。所以点 $(1,1)$ 满足方程，即点 $(1,1)$ 在曲线上。
验证过程可总结为：
$$
1 \cdot \ln 1 - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.
$$
等式成立，故点 $(1,1)$ 在曲线上。
公式：$$1 \cdot \ln 1 - 1 + 1 = 0$$
提示：代入时注意每一项的符号，并牢记 $\ln 1 = 0$。
步骤 2/5
目标：对隐函数方程两边求导，得到一阶导数表达式
已知隐函数方程为 $y \ln y - x + y = 0$，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此求导时需使用链式法则。
首先，对第一项 $y \ln y$ 求导。这是两个函数 $y$ 与 $\ln y$ 的乘积，应用乘积法则：$(y \ln y)' = y' \cdot \ln y + y \cdot (\ln y)'$。而 $(\ln y)' = \frac{1}{y} \cdot y'$，所以 $(y \ln y)' = y' \ln y + y \cdot \frac{1}{y} \cdot y' = y' \ln y + y'$。
其次，对第二项 $-x$ 求导，得 $-1$。
最后，对第三项 $y$ 求导，得 $y'$。
因此，求导后的方程为：
$$ y' \ln y + y' - 1 + y' = 0 $$
合并同类项：
$$ y'(\ln y + 1 + 1) - 1 = 0 $$
即
$$ y'(\ln y + 2) = 1 $$
解得一阶导数为：
$$ y' = \frac{1}{\ln y + 2} $$
通常记 $\frac{dy}{dx} = y'$，故
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 + \ln y} $$
公式：$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 + \ln y}$$
提示：对隐函数求导时，每一项都要考虑 $y$ 对 $x$ 的导数，不要遗漏链式法则。
步骤 3/5
目标：求二阶导数表达式
已知一阶导数表达式为 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 + \ln y}$。为了求二阶导数 $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$，我们需要对一阶导数再次关于 $x$ 求导。由于 $y$ 是 $x$ 的函数，而一阶导数表达式中含有 $y$，因此需要使用复合函数求导法则。
设 $u = 2 + \ln y$，则 $\frac{dy}{dx} = u^{-1}$。对 $x$ 求导得：
$$y'' = \frac{d}{dx}\left( u^{-1} \right) = -u^{-2} \cdot \frac{du}{dx}.$$
而 $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + \ln y) = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$。代入上式：
$$y'' = -\frac{1}{(2+\ln y)^2} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}.$$
再将 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2+\ln y}$ 代入，得到：
$$y'' = -\frac{1}{y(2+\ln y)^2} \cdot \frac{1}{2+\ln y} = -\frac{1}{y(2+\ln y)^3}.$$
因此，二阶导数的表达式为 $y'' = -\dfrac{1}{y(2+\ln y)^3}$。
公式：$$y'' = -\frac{1}{y(2+\ln y)^3}$$
提示：对一阶导数求导时，始终记住 $y$ 是 $x$ 的函数，每一步都要乘以 $\frac{dy}{dx}$。
步骤 4/5
目标：计算在点(1,1)处的二阶导数值
已知二阶导数的表达式为 $y'' = -\frac{1}{x(2+\ln x)^3}$，这是通过隐函数求导或参数方程求导得到的。现在需要计算在点 $(1,1)$ 处的二阶导数值，即 $y''(1)$。将 $x=1$ 代入表达式：
首先，计算分母中的 $\ln x$：$\ln 1 = 0$。因此 $2 + \ln 1 = 2 + 0 = 2$。
接着，计算分母中的 $x$：$x = 1$。
所以分母为 $x(2+\ln x)^3 = 1 \times 2^3 = 1 \times 8 = 8$。
因此，$y''(1) = -\frac{1}{8}$。
注意：题目中给出的点 $(1,1)$ 满足原方程，代入后验证无误。该二阶导数值为常数，表示在点 $(1,1)$ 处曲线的凹凸性为凸（因为二阶导数为负）。
公式：$$y''(1) = -\frac{1}{1 \cdot (2+\ln 1)^3} = -\frac{1}{8}$$
提示：代入数值时，先计算对数部分，再计算幂次，最后做除法，注意符号。
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