2008年考研数学一第6题

首先，根据题目给出的二次曲面图形，观察其形状特征。双叶双曲面的典型特征是：曲面由两个分离的叶瓣组成，沿某一坐标轴方向开口，且在与该轴垂直的平面内截面为椭圆或圆。在标准坐标系下，双叶双曲面的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$（或等价形式 $\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$），其中两个平方项系数为正，一个平方项系数为负。 对于一般二次曲面 $F(x,y,z)=0$，其二次型部分对应的矩阵 $A$ 的特征值符号决定了曲面的类型。设二次型为 $\lambda_1 x'^2+\lambda_2 y'^2+\lambda_3 z'^2$（经过正交变换后），则： - 若三个特征值同号，曲面为椭球面（或虚椭球面、点）； - 若两个特征值同号、一个异号，曲面为双曲面（两个正一个负为双叶双曲面，两个负一个正为单叶双曲面）； - 若一个特征值为零，其余同号，曲面为抛物面。 本题图形为双叶双曲面，因此二次型矩阵 $A$ 的特征值应有两个正、一个负。具体地，设特征值为 $\lambda_1>0,\lambda_2>0,\lambda_3<0$，则经过正交变换后，曲面方程可化为 $\lambda_1 x'^2+\lambda_2 y'^2+\lambda_3 z'^2 + \text{一次项} + \text{常数}=0$，通过平移可化为标准形式 $\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}-\frac{z''^2}{c^2}=-1$，其中 $a^2=-\frac{1}{\lambda_1}, b^2=-\frac{1}{\lambda_2}, c^2=\frac{1}{\lambda_3}$（注意符号调整）。 因此，识别二次曲面类型的关键在于判断二次型矩阵特征值的符号分布。对于双叶双曲面，特征值符号为两正一负。

由二次型对应的矩阵$A$的特征值分析可知，曲面方程为双叶双曲面，其标准形式为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$。将方程改写为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} + 1 = 0$，对应的二次型部分为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}$。该二次型的矩阵为$\begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{b^2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{c^2} \end{pmatrix}$，其特征值为$\lambda_1 = \frac{1}{a^2} > 0$，$\lambda_2 = \frac{1}{b^2} > 0$，$\lambda_3 = -\frac{1}{c^2} < 0$。因此，正特征值的个数为2。这一结果与双叶双曲面的几何性质一致：双叶双曲面在$x$和$y$方向为椭圆截面，在$z$方向为开口方向，故有两个正特征值。最终答案验证：正特征值个数为2。