2008年考研数学一第7题

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$。定义 $Z = \max\{X, Y\}$，即 $Z$ 取 $X$ 和 $Y$ 中的较大者。 根据分布函数的定义，对于任意实数 $x$，$Z$ 的分布函数 $F_Z(x)$ 表示随机变量 $Z$ 取值不超过 $x$ 的概率，即 $$F_Z(x) = P\{Z \leq x\}.$$ 由于 $Z = \max\{X, Y\}$，事件 $\{Z \leq x\}$ 等价于 $\{X \leq x\}$ 且 $\{Y \leq x\}$ 同时发生，因为最大值不超过 $x$ 当且仅当两个变量都不超过 $x$。因此有 $$F_Z(x) = P\{\max\{X, Y\} \leq x\} = P\{X \leq x, Y \leq x\}.$$ 利用 $X$ 与 $Y$ 的独立性，上式可化为 $$F_Z(x) = P\{X \leq x\} \cdot P\{Y \leq x\} = \Phi(x) \cdot \Phi(x) = [\Phi(x)]^2,$$ 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，即 $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} \, dt$。 至此，我们得到了 $Z$ 的分布函数表达式：$F_Z(x) = [\Phi(x)]^2$。这个表达式是后续步骤中求概率密度函数和计算期望的基础。

本步骤的目标是将随机变量最大值的事件转化为两个随机变量的联合事件。设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，考虑最大值 $M = \max(X, Y)$。对于任意实数 $x$，事件 $\{M \leq x\}$ 表示最大值不超过 $x$。由于最大值不超过 $x$ 当且仅当两个变量都不超过 $x$，因此有： $$ \{ \max(X, Y) \leq x \} = \{ X \leq x \} \cap \{ Y \leq x \}. $$ 根据概率的测度性质，事件交的概率等于各事件概率的乘积（当 $X$ 与 $Y$ 独立时），即： $$ P(\max(X, Y) \leq x) = P(X \leq x, Y \leq x). $$ 由于 $X$ 与 $Y$ 独立，联合分布函数可分解为边缘分布函数的乘积： $$ P(X \leq x, Y \leq x) = P(X \leq x) \cdot P(Y \leq x) = F_X(x) \cdot F_Y(x), $$ 其中 $F_X(x)$ 和 $F_Y(x)$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的分布函数。这一转化是求解最大值分布函数的关键步骤，它将一个关于最大值的事件简化为两个独立事件的交，从而可以利用已知的边缘分布进行计算。

由题意，随机变量$X$与$Y$相互独立且服从相同的分布，其分布函数为$F(x)$。 我们需要计算概率$P\{X \leq x, Y \leq x\}$。根据独立性的定义，两个事件$\{X \leq x\}$与$\{Y \leq x\}$相互独立，因此联合概率等于各自概率的乘积： $$P\{X \leq x, Y \leq x\} = P\{X \leq x\} \cdot P\{Y \leq x\}.$$ 由于$X$与$Y$同分布，它们的分布函数相同，即$P\{X \leq x\} = F(x)$，$P\{Y \leq x\} = F(x)$。代入上式得： $$P\{X \leq x, Y \leq x\} = F(x) \cdot F(x) = F^2(x).$$ 这一步骤的核心在于利用独立同分布（i.i.d.）的性质，将二维联合概率转化为一维分布函数的乘积，从而简化后续计算。注意，这里$F(x)$是$X$（或$Y$）的分布函数，且$F(x)$本身是单调不减、右连续的函数，满足$0 \leq F(x) \leq 1$。 在后续步骤中，我们将利用这个结果进一步推导$\max(X,Y)$的分布函数。

在前三步中，我们已经推导出随机变量$Z = \max\{X, Y\}$的分布函数为$F_Z(z) = F^2(z)$，其中$F(x)$为$X$和$Y$共同的分布函数。现在将这一结果与四个选项进行对比： 选项(A)：$F_Z(z) = F^2(z)$，与我们的推导完全一致。 选项(B)：$F_Z(z) = F(z)$，这是错误的，因为最大值分布函数应为原分布函数的乘积。 选项(C)：$F_Z(z) = 1 - [1 - F(z)]^2$，这是最小值$\min\{X, Y\}$的分布函数形式。 选项(D)：$F_Z(z) = [1 - F(z)]^2$，同样不是最大值的分布函数。 因此，只有选项(A)符合$F_Z(z) = F^2(z)$。 为了验证答案的正确性，我们可以考虑一个特例：假设$X$和$Y$独立同分布于$U(0,1)$，则$F(x)=x$（$0 \le x \le 1$）。此时$Z = \max\{X, Y\}$的分布函数应为$F_Z(z)=z^2$，而选项(A)给出$F_Z(z)=z^2$，选项(B)给出$z$，选项(C)给出$1-(1-z)^2 = 2z - z^2$，选项(D)给出$(1-z)^2$。显然只有(A)正确。 故本题选择(A)。