2008年考研数学一第8题

相关系数 $\rho_{XY}=1$ 是随机变量 $X$ 与 $Y$ 之间线性关系强弱的极端情形。根据相关系数的定义，$\rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $\text{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$。当 $\rho_{XY}=1$ 时，意味着 $X$ 与 $Y$ 的协方差达到其可能的最大值，即 $\text{Cov}(X,Y)=\sqrt{D(X)D(Y)}$。 由柯西-施瓦茨不等式 $(E[(X-EX)(Y-EY)])^2 \le E[(X-EX)^2]E[(Y-EY)^2]$，等号成立当且仅当存在常数 $a,b$ 使得 $Y-EY = a(X-EX)$ 几乎必然成立，即 $Y = aX + b$ 以概率1成立。进一步，由于 $\rho_{XY}=1>0$，可知 $a>0$。这是因为 $\text{Cov}(X,Y)=aD(X)$，而 $\sqrt{D(Y)}=|a|\sqrt{D(X)}$，代入相关系数公式得 $\rho_{XY}=\frac{aD(X)}{\sqrt{D(X)}\cdot|a|\sqrt{D(X)}}=\frac{a}{|a|}=\text{sgn}(a)$，故 $\rho_{XY}=1$ 推出 $a>0$。 因此，相关系数为1的充要条件是：存在常数 $a>0$ 和 $b$，使得 $P(Y = aX + b)=1$。这意味着 $X$ 与 $Y$ 完全正线性相关，所有样本点都落在一条斜率为正的直线上。 在解题中，当题目给出 $\rho_{XY}=1$ 时，可直接设 $Y = aX + b$（$a>0$），并利用此关系将 $Y$ 的分布转化为 $X$ 的分布，从而简化概率计算。例如，若已知 $X$ 的分布，则 $Y$ 的分布可由线性变换唯一确定。

已知条件中给出 $a > 0$。观察四个选项所对应的直线方程，我们需要找出哪些选项中 $x$ 的系数（即斜率）为负数。 - 选项 (A)：$y = -2x + 3a$，斜率 $k = -2 < 0$。 - 选项 (B)：$y = 2x - 3a$，斜率 $k = 2 > 0$。 - 选项 (C)：$y = -2x - 3a$，斜率 $k = -2 < 0$。 - 选项 (D)：$y = 2x + 3a$，斜率 $k = 2 > 0$。 由于题目中 $a > 0$，但并未直接限制斜率的正负，然而结合后续步骤（通常需要利用其他条件如截距或交点位置），我们可以先根据斜率符号排除明显不符合的选项。这里步骤目标是排除负斜率的选项，即选项 (A) 和 (C) 的斜率均为 $-2$，因此将它们排除。 经过此步，剩余选项为 (B) 和 (D)，它们的斜率均为正数 $2$，接下来需要进一步利用其他条件（如截距的正负或与坐标轴的交点）进行筛选。

首先，计算随机变量$Y$的期望。已知$Y$服从参数为$1$的指数分布，其概率密度函数为$f_Y(y)=e^{-y}$（$y>0$），因此$E(Y)=\int_0^{+\infty} y e^{-y} dy = 1$。 其次，计算$2X+1$的期望。由前一步已知$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的指数分布，即$E(X)=\frac{1}{\lambda}=2$，故$E(2X+1)=2E(X)+1=2\times 2+1=5$。 但题目中选项(D)给出的关系是$Y=2X+1$，而$E(Y)=1$，$E(2X+1)=5$，两者期望不相等，因此直接利用期望相等来判断选项(D)正确是错误的。 实际上，正确的推导应为：由前一步已知$Y$与$2X+1$具有相同的分布函数$F(t)=1-e^{-t}$（$t>0$），因此$Y$与$2X+1$同分布，从而$E(Y)=E(2X+1)$。计算$E(Y)=1$，而$E(2X+1)=2E(X)+1=2\times 2+1=5$，两者矛盾，说明前一步的分布函数推导有误。 重新检查：$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的指数分布，即$\lambda_X=\frac{1}{2}$，其分布函数$F_X(x)=1-e^{-\frac{x}{2}}$（$x>0$）。令$Y=2X+1$，则$Y$的分布函数为$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(2X+1\le y)=P(X\le \frac{y-1}{2})=1-e^{-\frac{y-1}{4}}$（$y>1$）。而题目中$Y$服从参数为$1$的指数分布，其分布函数为$F_Y(y)=1-e^{-y}$（$y>0$）。两者不同，因此$Y$与$2X+1$不同分布，选项(D)错误。 正确选项应为(A)，因为$Y$与$2X$同分布（由前一步推导得出），且$E(Y)=1$，$E(2X)=2E(X)=4$，期望不相等，但分布相同，故选项(A)正确。 最终答案：选项(A)正确。