2008年考研数学一第9题

原方程为 $xy' + y = 0$。为了将其化为一阶线性微分方程的标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，我们需要将方程两边同时除以 $x$（注意 $x \neq 0$）。除以 $x$ 后得到： $$ \frac{xy' + y}{x} = \frac{0}{x} $$ 化简左边： $$ y' + \frac{1}{x}y = 0 $$ 因此，方程化为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = 0$。这一步的关键是识别出原方程是一阶线性齐次微分方程，通过除以 $x$ 得到标准形式，为后续使用通解公式 $y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)$ 做好准备。注意，这里假设 $x \neq 0$，在后续求解过程中需考虑 $x=0$ 的情况。

对于一阶齐次线性微分方程 $y' + P(x)y = 0$，其通解公式为 $y = C e^{-\int P(x) \, dx}$。本题中 $P(x) = \frac{1}{x}$，因此通解为 $y = C e^{-\int \frac{1}{x} \, dx}$。 首先计算积分 $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_1$，其中 $C_1$ 为任意常数。代入通解公式得： $$y = C e^{-(\ln|x| + C_1)} = C e^{-\ln|x|} e^{-C_1} = C' e^{-\ln|x|},$$ 这里 $C' = C e^{-C_1}$ 仍为任意常数，通常仍记为 $C$。 利用指数与对数的性质 $e^{-\ln|x|} = \frac{1}{e^{\ln|x|}} = \frac{1}{|x|}$，因此 $$y = C \cdot \frac{1}{|x|} = \frac{C}{|x|}.$$ 由于常数 $C$ 可正可负，且 $|x|$ 在 $x>0$ 或 $x<0$ 时分别等于 $x$ 或 $-x$，因此通常将解写为 $y = \frac{C}{x}$，其中 $C$ 为任意常数。这样写既简洁又包含了所有可能的解（当 $x>0$ 时 $C$ 取任意实数，当 $x<0$ 时 $C$ 取任意实数，但需注意 $x=0$ 处解无定义）。 因此，微分方程 $y' + \frac{1}{x}y = 0$ 的通解为 $y = \frac{C}{x}$，其中 $C$ 为任意常数。

已知微分方程的通解为 $y = \frac{C}{x}$，其中 $C$ 为任意常数。题目给出的初始条件为 $x=1$ 时 $y=1$。将 $x=1$ 和 $y=1$ 代入通解表达式，得到： $$ 1 = \frac{C}{1} $$ 即 $1 = C$，因此解得 $C = 1$。 将 $C=1$ 代回通解，得到满足初始条件的特解： $$ y = \frac{1}{x} $$ 至此，我们确定了常数 $C$ 的具体数值，完成了从通解到特解的转化。

在上一节中，我们得到了微分方程的通解为 $y = \frac{1}{x} + \frac{C}{x^2}$，其中 $C$ 为任意常数。现在需要利用初始条件 $y(1) = 1$ 来确定常数 $C$ 的值。将 $x = 1$ 和 $y = 1$ 代入通解表达式： $$1 = \frac{1}{1} + \frac{C}{1^2} = 1 + C$$ 由此解得 $C = 0$。因此，满足初始条件的特解为 $$y = \frac{1}{x}$$ 为了验证该解的正确性，我们将其代入原微分方程 $x^2 y' + xy = 1$ 进行检验。首先计算导数：$y' = -\frac{1}{x^2}$。代入左边得： $$x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + x \cdot \frac{1}{x} = -1 + 1 = 0$$ 而原方程右边为 $1$，这里出现了矛盾。检查发现，在第三步求解过程中，我们误将非齐次方程的通解形式写错。实际上，对于一阶线性微分方程 $y' + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$，其通解应为 $y = \frac{1}{x} \ln x + \frac{C}{x}$。重新代入初始条件 $y(1)=1$： $$1 = \frac{1}{1} \ln 1 + \frac{C}{1} = 0 + C \Rightarrow C = 1$$ 因此正确的特解为 $$y = \frac{1}{x} \ln x + \frac{1}{x} = \frac{\ln x + 1}{x}$$ 再次验证：$y' = \frac{1/x \cdot x - (\ln x + 1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x - 1}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}$，代入左边得： $$x^2 \cdot \left(-\frac{\ln x}{x^2}\right) + x \cdot \frac{\ln x + 1}{x} = -\ln x + \ln x + 1 = 1$$ 满足方程。故最终特解为 $y = \frac{\ln x + 1}{x}$。