2008年考研数学一第10题

已知方程为 $\sin(xy) + \ln(y - x) = x$，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。对方程两边关于 $x$ 求导，注意使用复合函数求导法则和隐函数求导法则。 首先，对左边第一项 $\sin(xy)$ 求导。令 $u = xy$，则 $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}$。而 $\frac{du}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$（乘积法则），所以 $$ \frac{d}{dx}\sin(xy) = \cos(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right). $$ 其次，对左边第二项 $\ln(y - x)$ 求导。令 $v = y - x$，则 $\frac{d}{dx}\ln(v) = \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx}$。而 $\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$，所以 $$ \frac{d}{dx}\ln(y - x) = \frac{1}{y - x} \cdot \left(\frac{dy}{dx} - 1\right). $$ 右边 $x$ 的导数为 $1$。 因此，求导后的方程为 $$ \cos(xy)\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{y - x}\left(\frac{dy}{dx} - 1\right) = 1. $$ 此步骤完成了对方程两边关于 $x$ 的求导，为后续整理并解出 $\frac{dy}{dx}$ 做好准备。

由第一步隐函数求导得到方程： $$\cos(xy)\cdot\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + \frac{\frac{dy}{dx} - 1}{y - x} = 1$$ 现在需要整理该方程，将含有 $\frac{dy}{dx}$ 的项集中到等式一边，常数项移到另一边。 首先，将第一项展开： $$\cos(xy)\cdot y + \cos(xy)\cdot x\frac{dy}{dx} + \frac{\frac{dy}{dx} - 1}{y - x} = 1$$ 将含有 $\frac{dy}{dx}$ 的项提取出来： $$\cos(xy)\cdot x\frac{dy}{dx} + \frac{1}{y-x}\cdot\frac{dy}{dx} + \cos(xy)\cdot y - \frac{1}{y-x} = 1$$ 将不含 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到等式右边： $$\left(\cos(xy)\cdot x + \frac{1}{y-x}\right)\frac{dy}{dx} = 1 - \cos(xy)\cdot y + \frac{1}{y-x}$$ 注意右边 $+\frac{1}{y-x}$ 是因为移项时 $-\frac{1}{y-x}$ 移到右边变为 $+\frac{1}{y-x}$。 因此，整理后的导数表达式为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy) + \frac{1}{y-x}}{x\cos(xy) + \frac{1}{y-x}}$$ 为后续化简方便，可将分子分母通分处理，但本步骤只需整理出显式表达式即可。

本步骤的目标是将已知点 $(0,1)$ 代入上一步得到的导数方程，从而求出曲线在该点处的切线斜率 $\frac{dy}{dx}$。 上一步得到的导数方程为： $$\cos(xy)\cdot(y + x\frac{dy}{dx}) + \frac{\frac{dy}{dx} - 1}{1 - x} = 1$$ 现在代入 $x = 0$，$y = 1$。 首先计算第一项：$\cos(xy) = \cos(0 \times 1) = \cos(0) = 1$。 括号内 $y + x\frac{dy}{dx} = 1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx} = 1$。 因此第一项为 $1 \times 1 = 1$。 接着计算第二项：分母 $1 - x = 1 - 0 = 1$，分子 $\frac{dy}{dx} - 1$ 保持不变，所以第二项为 $\frac{dy}{dx} - 1$。 方程右边为常数 $1$。 代入后得到： $$1 + (\frac{dy}{dx} - 1) = 1$$ 化简左边：$1 + \frac{dy}{dx} - 1 = \frac{dy}{dx}$。 因此方程简化为： $$\frac{dy}{dx} = 1$$ 所以，在点 $(0,1)$ 处，曲线切线的斜率为 $1$。

由前一步骤已求得切线的斜率 $k = 1$，且切点为 $(0, 1)$。根据直线的点斜式方程，过点 $(x_0, y_0)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。代入 $x_0 = 0$，$y_0 = 1$，$k = 1$，得： $$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$$ 化简得： $$y = x + 1$$ 因此，所求切线方程为 $y = x + 1$。 **验证**：将切点 $(0, 1)$ 代入方程，左边 $y = 1$，右边 $x + 1 = 0 + 1 = 1$，满足方程；同时斜率 $1$ 与导数计算结果一致，故结果正确。