2007年考研数学三第1题

在极限计算中，等价无穷小是一个非常重要的概念。当自变量$x$趋近于某个值（通常是$0$）时，如果两个函数$\alpha(x)$和$\beta(x)$都趋近于$0$，则称它们为无穷小量。特别地，当$x \to 0^+$时，若$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷小，且满足极限条件： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1, $$ 则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小，记作$\alpha(x) \sim \beta(x)$（当$x \to 0^+$）。 这个定义的核心在于比值极限为$1$，它意味着两个无穷小在趋近于$0$的过程中，它们的“速度”或“阶数”完全相同。等价无穷小在极限运算中具有重要的替换性质：在乘除运算中，可以用一个等价无穷小替换另一个，从而简化计算。但要注意，在加减运算中直接替换可能导致错误，需要谨慎使用。 例如，当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$，$e^x - 1 \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$等。这些常见的等价关系都是通过验证极限为$1$得到的。 在本题目中，我们需要利用等价无穷小的定义来判断或证明某些无穷小之间的等价关系，为后续的极限计算或比较奠定基础。

分析选项A：$f(x)=\frac{1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$。我们需要判断当$x\to0^+$时，$f(x)$是否与$x$等价无穷小。等价无穷小的定义是：若$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=1$，则$f(x)\sim x$。因此，计算极限： $$ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x^{3/2}}. $$ 令$u=\sqrt{x}$，则当$x\to0^+$时，$u\to0^+$，且$x=u^2$，$x^{3/2}=u^3$。代入得： $$ \lim_{u\to0^+}\frac{1-\mathrm{e}^{u}}{u^3}. $$ 利用等价无穷小：当$u\to0$时，$1-\mathrm{e}^{u}\sim -u$（因为$\mathrm{e}^{u}-1\sim u$，所以$1-\mathrm{e}^{u}\sim -u$）。于是： $$ \lim_{u\to0^+}\frac{1-\mathrm{e}^{u}}{u^3}=\lim_{u\to0^+}\frac{-u}{u^3}=\lim_{u\to0^+}\frac{-1}{u^2}=-\infty. $$ 该极限为负无穷大，不是1，因此$f(x)$与$x$不等价。实际上，$f(x)$是比$x$更高阶的无穷小（因为分母趋向0的速度更快），且极限为$-\infty$，说明$f(x)$与$x$相比是无穷大量（负的），故选项A不正确。

分析选项B：$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$。 首先，令 $u = \sqrt{x}$，则当 $x \to 0^+$ 时，$u \to 0^+$。原极限化为 $\lim\limits_{u \to 0^+} \frac{\ln(1+u)}{u}$。 利用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$。因此， $$ \lim_{u \to 0^+} \frac{\ln(1+u)}{u} = \lim_{u \to 0^+} \frac{u}{u} = 1. $$ 由于极限值为1（非零常数），根据无穷小比较的定义，当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+\sqrt{x})$ 与 $\sqrt{x}$ 是等价无穷小。因此选项B中的两个无穷小是等价的。 注意：本题要求判断哪个选项中的两个无穷小是等价无穷小，选项B满足条件。

选项C为：当$x\to0^+$时，$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$与$\sqrt{x}$是等价无穷小。 我们需要判断这两个无穷小量是否等价，即判断极限 $$ \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}} $$ 是否等于1。 令$u=\sqrt{x}$，则当$x\to0^+$时，$u\to0^+$，且$\sqrt{x}=u$。原极限化为 $$ \lim_{u\to0^+}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}. $$ 利用等价无穷小公式：当$u\to0$时，$(1+u)^{\frac{1}{2}}-1\sim\frac{1}{2}u$。这是因为$(1+u)^\alpha-1\sim\alpha u$（$\alpha\neq0$）。 因此， $$ \frac{\sqrt{1+u}-1}{u}\sim\frac{\frac{1}{2}u}{u}=\frac{1}{2}\quad(u\to0). $$ 严格计算极限： $$ \lim_{u\to0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}=\lim_{u\to0}\frac{(\sqrt{1+u}-1)(\sqrt{1+u}+1)}{u(\sqrt{1+u}+1)}=\lim_{u\to0}\frac{u}{u(\sqrt{1+u}+1)}=\lim_{u\to0}\frac{1}{\sqrt{1+u}+1}=\frac{1}{2}. $$ 所以极限值为$\frac{1}{2}$，不等于1。因此$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$与$\sqrt{x}$不是等价无穷小，而是同阶但不等价（阶数为$\frac{1}{2}$倍的关系）。 结论：选项C错误。

分析选项D：$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。 首先，当$x \to 0^+$时，$\sqrt{x} \to 0$，令$u = \sqrt{x}$，则$u \to 0^+$。原极限转化为$\lim\limits_{u \to 0^+} \frac{1-\cos u}{u}$。 利用等价无穷小：当$u \to 0$时，$1-\cos u \sim \frac{1}{2}u^2$。因此， $$ \frac{1-\cos u}{u} \sim \frac{\frac{1}{2}u^2}{u} = \frac{1}{2}u \to 0 \quad (u \to 0^+). $$ 所以极限值为0。由于该极限为0，而选项D声称与$\sqrt{x}$等价（即极限为1），因此选项D不正确。 实际上，$1-\cos\sqrt{x}$是$\sqrt{x}$的高阶无穷小，两者不等价。

经过前五步的分析与计算，我们逐一验证了四个选项的极限值。 - 对于选项A：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$，但题目要求的是 $x \to 0^+$ 时的极限，且该极限为1，然而选项A的表达式为 $\frac{\ln(1+x)}{x}$，其极限为1，但题目中其他选项的极限并不都是1，需要进一步判断。实际上，我们计算了每个选项在 $x \to 0^+$ 时的极限： - A: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$； - B: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 1$； - C: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$； - D: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{x} = \frac{1}{2}$。 只有选项B的极限为1，而题目要求找出极限为1的选项，因此选项B符合条件。 最终答案验证：将 $x=0.01$ 代入选项B，$\frac{\ln(1+\sqrt{0.01})}{\sqrt{0.01}} = \frac{\ln(1+0.1)}{0.1} \approx \frac{0.09531}{0.1} = 0.9531$，接近1；当 $x$ 趋近于0时，该比值趋近于1。其他选项的极限均不为1。 因此，本题的正确选项为B。