2007年考研数学三第2题

首先分析选项A：若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在，则$f(0)=0$。 已知$f(x)$在$x=0$处连续，且极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在（设为$L$）。由极限存在的必要条件，当$x \to 0$时，分母$x \to 0$，若分子$f(x)$不趋于0，则极限必为无穷大，与极限存在矛盾。因此必须有$\lim_{x \to 0} f(x)=0$。 由于$f(x)$在$x=0$处连续，根据连续的定义，$\lim_{x \to 0} f(x)=f(0)$。结合$\lim_{x \to 0} f(x)=0$，可得$f(0)=0$。 因此选项A的结论成立，A正确。 注意：此推理中连续性是关键，若$f$在$x=0$处不连续，则不能由极限存在推出$f(0)=0$。

选项B的表述为：若极限$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)+f(-x)}{x}$存在，则$f(0)=0$。 首先，由极限存在的必要条件可知，若$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)+f(-x)}{x}$存在，则当$x \to 0$时，分子$f(x)+f(-x)$必须趋于0，否则极限会趋于无穷大。因此有： $$\lim_{x \to 0} [f(x)+f(-x)] = 0.$$ 由于函数$f(x)$在$x=0$处连续（题目条件中已假设$f(x)$在$x=0$处连续），所以$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$，且$\lim\limits_{x \to 0} f(-x) = f(0)$。代入上式得： $$\lim_{x \to 0} [f(x)+f(-x)] = f(0) + f(0) = 2f(0) = 0.$$ 因此$f(0)=0$，选项B正确。 注意：这里的关键是利用了极限存在的必要条件（分子趋于0）以及函数的连续性。如果$f(x)$在$x=0$处不连续，则无法推出$f(0)=0$，但题目已明确$f(x)$在$x=0$处连续，所以推理成立。

分析选项C：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在且$f(0)=0$。根据导数的定义，函数$f(x)$在$x=0$处的导数定义为$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。由于已知$f(0)=0$，代入得$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。因此，若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在，则$f'(0)$存在且等于该极限值。注意，这里要求$f(x)$在$x=0$处连续吗？实际上，由$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在，可推出$\lim_{x \to 0} f(x)=0$（因为分母趋于0，分子必须也趋于0才能使极限为有限值），结合$f(0)=0$，可知$f(x)$在$x=0$处连续。因此，条件充分保证了导数定义中的极限存在，故$f'(0)$存在。选项C正确。

选项D的表述为：若$f(x)$在$x=0$处连续，且极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$存在，则$f'(0)$存在。我们需要判断该命题是否正确，并找出反例。 考虑函数$f(x)=|x|$。首先验证连续性：$|x|$在$x=0$处连续，因为$\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$。 其次计算极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|-| -x|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|-|x|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x} = 0. $$ 因此该极限存在且等于0。 但$f(x)=|x|$在$x=0$处的导数不存在。事实上，左导数为$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|-0}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$，右导数为$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|-0}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$，左右导数不相等，故$f'(0)$不存在。 因此，选项D是错误的，反例为$f(x)=|x|$。

综合前四步的分析，我们逐一验证了四个选项的正确性： - 选项A：由条件可知，$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)=0$，故A正确。 - 选项B：利用极限定义，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0)=0$，故B正确。 - 选项C：由$f'(0)=0$及$f(x)$在$x=0$处连续，可得$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} = 0 \cdot 1 = 0$，故C正确。 - 选项D：考虑反例$f(x)=x^2 \sin\frac{1}{x}$（$x \neq 0$），$f(0)=0$。该函数在$x=0$处可导，且$f'(0)=0$，但$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$不存在，故D错误。 因此，命题错误的是选项D。最终答案：D。